第1章复变函数习题答案习题详解

PAGEPAGE4第一章习题详解求下列复数的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：解：实部：虚部：共轭复数：模：辐角：解：实部：虚部：共轭复数：模：辐角：解：实部：虚部：共轭复数：模：辐角：解：实部：虚部：共轭复数：模：辐角：当、等于什么实数时，等式成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：即、时，等式成立。；解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。零的幅角是零解：假命题。复数的幅角是任意的，也是无意义的。仅存在一个数，使得；解：假命题。有两个数，使成立。；解：假命题。设有两个数，使不成立。解：真命题。将下列复数化为三角表示式和指数表示式：解：，解：，解：，解：另：另：解：，解：将下列坐标公式写成复数的形式：平移公式：解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：即：旋转公式：解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：一个复数乘以，它的模与辐角有何改变？解：设 即：一个复数乘以，它的模不变，辐角减小。证明：，并说明其几何意义。证明： 几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。证明下列各题：任何有理分式函数可以化为的形式，其中与为具有实系数的与的有理分式函数；证明：设，则：，其中，，，，皆为关于的实系数多项式。其中：，为具有实系数的关于的有理分式函数。如果为1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么；证明：因为为具有实系数的有理分式函数，所以其中：，如果复数是实系数方程的根，那么也是它的根。证明：令因为是方程的根，又因为的系数为实数，因此。即也是方程的根。即实系数多项式的复根必共轭成对出现。如果，证明：证明：证明：求下列各式的值：解：解：解：即：，，，，，解：即：，，若,试求的值。解：求方程的所有根；解：即：，，求微分方程的一般解。解：微分方程的特征方程为：。由前题得：，，微分方程有三个线性无关的特解：，，微分方程有三个线性实数特解：，，一般解为：在平面上任意选一点，然后在复平面上画出下列各点的位置：解：已知两点与（或已知三点），问下列各点位于何处？；解：位于与连线的中点。，其中为实数；解：位于与连线上，其中。。解：位于以,,为顶点的三角形的重心上。设三点适合条件，。证明：是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。证明：（方法一）,,位于以原点为圆心的单位圆上。令，，其中。，，或同理可得：或分析：如果，，则；如果，，则与矛盾。。同理。是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法二）,,位于以原点为圆心的单位圆上。同理：，。于是是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法三）,,位于以原点为圆心的单位圆上。是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法四）,,位于以原点为圆心的单位圆上。设而同理，即同理，是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法五）设，则是该方程的三个根。而，所以是的三个根，即分别是复数的三次方根。又因为，所以均匀地分布在单位圆上，即是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。（方法六）如右图所示：所以为等边三角形。同理可知为等边三角形，于是有：同理，，所以均匀地分布在单位圆上。命题得证。如果复数满足等式，证明，并说明这些等式的几何意义。证明：且是等边三角形的充分必要条件是因此，满足的点，，为顶点的三角形是等边三角形，必有指出下列各题中点的轨迹或所在范围，并作图：；解：设，则即是以为圆心，半径为6的圆周。；解：设，则即是以为圆心，半径为1的圆周及其外部。；解：设，则即是平行于y轴的通过的直线。；解：设，则即是平行于x轴的通过的直线。；解：设，则即是平行于x轴。；解：设，则即是以，为焦点，长的半轴为2，短半轴为的椭圆。；解：设，则即是过的平行于x轴的直线及其下半平面。；解：设，则即是去掉过的半平面。；解：满足的图形是不包含实轴的上半平面。。解：设，则即是以为端点的射线，。描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：；解：设，则，表示不包含实轴的上半平面，是无界的单连通域。；解：设，由得，表示以为圆心半径为的圆（不含圆周）的外部，是无界的多单连通域。；解：设，则，表示介于直线和之间的带形区域（不含两直线），是无界的单连通域。；解：表示介于圆与之间的圆环域（含两圆周），是有界的多连通域。；解：设，由，表示直线右边的半平面区域（不含直线），是无界的单连通域。；解：表示由射线与所围成的角形区域（不含两射线），是无界的单连通域。；解：设，由，表示以为圆心半径为的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。；解：表示以与为焦点长半轴短半轴的椭圆及其内部，是有界的单连通闭域。；解：表示以与为焦点实半轴虚半轴的双曲线左边一支的左侧，是无界的单连通域。。解：设，由，表示以点为圆心半径为的圆及其内部，是有界的单连通闭域。证明复平面上的直线方程可写成：，（为复常数，为实常数）。证明：设点在直线上，则直线方程可写成：又，整理得：令，则。因为不全为零，所以。是复平面上的直线方程（为复常数，为实常数）。证明复平面上的圆周方程可写成：（其中为复常数，为实常数）。证明：设点在圆上任意一点，点为圆心，半径为，则圆的方程为：，。代入上式，得：。整理得：令，，是复平面上的圆的方程（为复常数，为实常数）。将下列方程（为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：；解：设，则，（为实常数）；解：设，则；解：设，则；解：设，则，（为实常数）；解：设，则；解：设，则，（为复数）。解：设，则函数把下列平面上的曲线映射成平面上怎样的曲线？；解：设，，则是w平面上的圆。；解：设，，则且是w平面上的直线。；解：设，，则是w平面上的圆。。解：设，，则是w平面上的直线。已知映射，求：点，，在平面上的象；解：区域在平面上的象。解：证明§6定理二与定理三。定理二如果，，那么；；证明：，，则，使时，有，使时，有取，则当时，必有成立。故。，则及，使时，，，，使时，有；又，故存在，使时，有取，则当时，必有故。，则及，使时，，，，使时，有，使时，有取，则当时，必有故。定理三函数在处连续的充要条件是：和在点处连续。证明：在处连续，，即，即和在点处连续。设函数在连续且，那么可找到的小邻域，在这邻域内。证明：函数在连续，即可取，存在，使得当时，有又即存在的邻域，在这邻域内。设，证明在的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常数，使在的某一去心邻域内有。证明：，即，，当时，有，取，则有。设。试证当时的极限不存在。证明：（方法一）设，则显然，当沿着不同