矩阵分析第3章习题答案_第1页
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第三章已知是n阶正定Hermite矩阵，在n维线性空间中向量定义内积为证明在上述定义下，是酉空间；写出中的Canchy-Schwarz不等式。已知，求的标准正交基。提示：即求方程的基础解系再正交化单位化。已知试求酉矩阵，使得是上三角矩阵。提示：参见教材上的例子试证：在上的任何一个正交投影矩阵是半正定的Hermite矩阵。验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵，使为对角矩阵，已知，试求正交矩阵，使为对角矩阵，已知，试求矩阵，使（或），已知，设n阶酉矩阵的特征根不等于，试证：矩阵满秩，且是Hermite矩阵。反之，若是Hermite矩阵，则满秩，且是酉矩阵。证明：若，观察知为的特征值，矛盾，所以矩阵满秩。，要，只要故由知为H的特征值。由Hermite矩阵只能有实数特征值可得，即满秩。若分别是实对称和实反对称矩阵，且，试证：是酉矩阵。证明：设，试证：是酉矩阵。提示：设A为n阶正规矩阵，为A的特征值，试证：的特征值为。提示：，，所以的特征值为设，试证：（1）和都是半正定的Hermite矩阵；（2）和的非零特征值相同。提示：（1）（2），特征值的重数也相同，参见P191设A是正规矩阵，试证：（1）若（为自然数），则；（2）若，则；（3）若，则。设，求证以下三条件等价：（1）为正规矩阵（2）（3）解：（1）（2）由。（2）（3）,由（2）（1）,由31、设，则A可以唯一的写为，其中为Hermite矩阵。且A可以唯一的写为，其中B是Hermite矩阵，C是反Her

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