全国卷三视图与立体几何专题(含答案)

三视图与立体几何部分1.（2014年全国新课标卷Ⅰ第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱2.（2014年全国新课标卷Ⅰ第19题）(本题满分12分)如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且.(Ⅰ)证明：(Ⅱ)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．3．（2014年全国新课标卷Ⅱ第6题）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.B.C.D.10.（2013年全国新课标Ⅰ第15题）已知H是球的直径AB上的一点，AH:HB=1:2，，H为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为11.（2013年全国新课标Ⅰ第19题）如图，三棱柱中，(I)证明：;(Ⅱ)若,求三棱柱的体积.12.（2014年全国新课标Ⅱ第7题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A.6B.9C.12D.1813.（2012年全国新课标第8题）平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）A.B.C.D.14.（2012年全国新课标第19题）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，D是棱的中点.(I)证明：;(Ⅱ)平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.15.（2011年全国新课标第8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为16．（2011年全国新课标第16题）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.17.（2011年全国新课标第18题）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，,（I）证明：;(Ⅱ)设,求棱锥的高.18.（2010年全国新课标第7题）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.B.C.D.19.（2010年全国新课标第15题）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱20.（2010年全国新课标第18题）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高.（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）若,求四棱锥的体积.1.B【命题立意】本题考查三视图等基础知识，意在考查考生空间想象能力，难度中度.【解题思路】原几何体为如图所示的三棱柱，故选B.2.解：(Ⅰ)连接，则为与的交点.因为侧面为菱形，所以.又，所以，故.由于，故（6分）(Ⅱ)作，垂足为，连接.作，垂足为.由于，，故平面，所以.又，所以平面.因为，所以为等边三角形，又，可得.由于，所以.由，且，得又为的中点，所以点到平面的距离为,故三棱柱的距离为.(12分)3.C【命题立意】本题考查了三视图，空间几何体的体积计算，意在考查三视图与直观图的转换所体现的空间想象能力，难度中等.【解题思路】几何体的直观图为“螺栓”.切削部分的体积为，所以比值为，故选C.4.C【命题立意】本题考查空间几何体的体积计算，侧重考察利用割补法求体积，难度中等.【解题思路】取的中点，截面的面积为，所以所求的体积为，故选C.5.解：（I）证明：设与的交点为，连结.因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.平面，平面,所以∥平面.（Ⅱ）V.由，可得.作交于.由题设知平面，所以，故平面.又.所以A到平面PBC的距离为.6.A【命题立意】本题考查空间直角坐标系下几何体的建构及其对应的三视图的作图问题，难度中等.【解题思路】如图所示，点，此四点恰为正方体的四个顶点，此四点构成了一个棱长为的正四面体，该正四面体的投影面上的正视图为正方形,故应选A.7.【命题立意】本题考查正四棱锥的体积计算及球的表面积计算，体现了空间想象能力的应用，难度中等.【解题思路】如图所示，由 ，可得，在中，由,可得,以OA为半径的球的表面积.8.解：（Ⅰ）证明：连接交予点F，则F为的中点.又D是AB的中点，连接DF，则.因为,所以.(Ⅱ)因为是直三棱柱，所以.由已知.又.由,，.所以.9.A【命题立意】本题考查了三视图及其对应的几何体的体积计算问题，体现了空间想象能力的实际应用，难度较大.【解题思路】由三视图可得，该几何体是由一个底面圆半径为2，高为4的圆柱体的一般与一个底面正方形边长为2，高为4的正四棱柱组成的组合体，∴其体积，故应选A.【易错点拨】由三视图回溯几何体的原型是一个难点，也是一个易错点，解决此类问题应当从俯视图入手，结合另两个视图综合想象原直观图的组合关系.10.【命题立意】本题考查了球及球的表面积计算问题，难度较大.【解题思路】如图所示，设球的直径为，则由,可得,在中11.解：（Ⅰ）.由于故为等边三角形，所以.因为,所以.又,故(6分)(Ⅱ)由题设知都是边长为2的等边三角形，所以,又，则,故,因为,所以,为三棱柱的高.又的面积,故三棱柱的体积.（12分）12.B【命题立意】本题考查三视图及空间几何体的体积求解，考生是否具有一定空间想象能力将图形还原（包含数量关系及位置关系）是命题立意所在，难度较小.【解题思路】据三视图可知三棱锥底面是腰长为的等腰直角三角形，棱锥的高为3，故体积为,故选B.13.B【命题立意】本题考查球的性质应用及球的体积公式，难度较小.【解题思路】由于球心与截面圆心的连线垂直于截面，故球的半径，因此体积,故选B.14.解：(I)证明：由题设知所以.又.由题设知所以.又又.(6分)(Ⅱ)设棱锥的体积为.又题意得。又三棱柱的体积，所以.故平面分此棱柱所得两部分的体积之比为1:1.(12分)15.D【命题立意】本题考查三视图，考查空间想象能力.【解题思路】由三视图可知该几何体是一个三棱锥和半个圆锥构成的几何体，所以其侧视图可以是D.16.【命题立意】本题考查圆锥内接于球的问题，考查空间想象能力.【解题思路】如图，设圆锥底面圆A的半径为r,O为球心，球O的半径为，则由题意可知，解得，又由勾股定理得,得，所以体积较小的高与体积较大的高的比等于.17.解：（Ⅰ）因为,由余弦定理得.从而.(3分)又可得.所以,故.(6分)(Ⅱ)如图，作,垂足为E,已知,则.由（I）知.故.则.（9分）由题设知.根据即棱锥的高.（12分）18.B【命题立意】本题考查组合体知识及球的表面积求解.【解题思路】据题意可得长方体的对角线即球的直径，即，故球的表面积,故选B.19.①②③⑤【命题立