一些有名的几何定理

一些有名的几何定理取材自维基百科-中文版.没事的时候大家可以证着玩！答案在这里.阿基M德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点，随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。若M、C在弦AB异侧，则AD=DC+BC；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC-CB。b5E2RGbCAP婆罗摩笈多定理指出：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。婆罗摩笈多是印度数学家。plEanqFDPw凡•奥贝尔定理＜vanAubel'stheorem）说明：给定一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且垂直。DXDiTa9E3d芬斯勒-哈德维格尔定理＜Finsler-HadwigerTheorem）说明：若两个正方形ABCD和AB'C'D'拥有同一个顶点A。B'D的中点、BD'的中点、ABCD的中心和AB'C'D'的中心将组成一个正方形。RTCrpUDGiT莫雷角三分线定理＜Morley'stheorem）说明对所有的三角形，其三个内角作角三分线，靠近公共边三分线的三个交点，是一个等边三角形。此定理由法兰克•莫雷在1899年发现。对外角作外角三分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形。5PCzVD7HxA此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形，因为已经证明出尺规做图无法做出三等分角。拿破仑定理，是拿破仑发现的平面几何学定理：“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形，结论同样成立。jLBHrnAILg同时拿破仑留下这样的名言：''一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现他的国力强大。——拿破仑泰博定理是法国几何学家维克多•泰博〈VictorThebault，1882年-I960年〉）提出的平面几何问题。xHAQX74J0X取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形〈同时在平行四边形内或外皆可）。正方形的中心点所组成的四边形为正方形。〈此为凡•奥贝尔定理的特例。）LDAYtRyKfE取正方形的两条邻边为三角形的边，作两个等边三角形〈同时在正方形内或外皆可）。这两个三角形不在正方形边上的顶点，和正方形四个顶点中唯一一个不是三角形顶点的顶点，组成一等边三角形。Zzz6ZB2Ltk给定任意三角形ABC，BC上任意一点M。作两个圆形，均与AM、BC、外接圆相切。该两圆的圆心和三角形内切圆心共线。〈应用：日本定理）dvzfvkwMI1第三题是最难的。1938年《美国数学月刊》曾刊出第三题，但直至1973年才为荷兰数学家H.Streefkerk证出。2003年，Ayme发现早在1905年Y.Sawayama已解决这题。rqyn14ZNXI维维亚尼（Viviani＞定理说明：在等边三角形内任意一点P跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高。EmxvxOtOco这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐•维维亚尼命名。西姆松定理说明：有三角形ABC，平面上有一点P。P在三角形三边上的投影〈即由P到边上的垂足）共线〈此线称为西姆松线，Simsonline）当且仅当P在三角形的外接圆上。SixE2yXPq5相关的结果有：.称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。.两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。.若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。卡诺定理设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为OOA+OOB+OOC=R+r，其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理。塞瓦线段＜cevian）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果已」伙'的塞瓦线段AD、BE、CF通过同一点O，则6ewMyirQFL它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在的边BC、CA、AB或其延长线上，且满足

BDCEAF_7^Tm=，则直线AD、BE、CF共点或彼此平行〈于无限远处共点）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点时，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。kavU42VRUs它最先由意大利数学家乔瓦尼•塞瓦证明。梅涅劳斯定理〈Menelaus'stheorem）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一直线与的边BC、CA、AB分别交于L、M、N，则有:y6v3ALoS89ANBLCM .Ar.1/.! 一。它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在已」你’的边BC、CA、AB或其延长线上〈至少有一点在延长线上），且满足M2ub6vSTnP则L、M、N三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。case1.直线case1.直线LMN穿过三角形ABCcase2.直线LMN在三角形ABC外面0YujCfmUCw蝴蝶定理〈Butterflytheorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。密克定理三圆定理：设三个圆C1,C2,C3交于一点0，而M,N,P分别是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B,N,C这三点共线。eUts8ZQVRd逆定理：如果已」3。是三角形，M,N,P三点分别在边AB,BC,CA上，那么三角形—UF, —史"上一，—LTF的外接圆交于一点O。sQsAEJkW5T完全四线形定理：如果ABCDEF是完全四线形，那么三角形E..UJ,厂3',「」」3,U3'的外接圆交于一点O,称为密克点。GMsIasNXkA四圆定理：设C1,C2,C3,C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。那么A1,A2,A3,A4四点共圆当且仅当B1,B2,B3,B4四点共圆。TIrRGchYzg五圆定理：设ABCDE为任意五边形，五点F,G,H,I,J分别是EA和BC,AB和CD,BC和DE,CD和EA,DE和AB的交点，那么三角形.."」/3,"似'■,•."m 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。7EqZcWLZNX逆定理：设C1,,C2,C3,C4,C5五个圆的圆心都在圆C上，相邻的圆交于C上，那么把它们不在C上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上°lzq7IGf02E帕普斯定理设U，V，W，X，Y和Z为平面上六条直线。如