高中数学选择性必修第一册综合检测(解析版)

高中数学选择性必修第一册综合检测高中数学选择性必修第一册综合检测第1页（共8页）高中数学选择性必修第一册综合检测高中数学选择性必修第一册综合检测第1页（共8页）高中数学选择性必修第一册综合检测（时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1•若直线l：x—2y+k=0（kGR）过点（0,2），则k的值为（B）A・一4B・4C.2D.—2解析：由题意可得，0-4+k=0,解得k=4・TOC\o"1-5"\h\z2.已知空间向量a=Q+1,1,2）,b=（6,“一1,4），若a〃b，则2+“=（）A.3B.—3C.5D.—53•如图，空间四边形OABC中，OA=a，—=b，—=c.解析：选C因为a〃b,所以~6~=“1=4,所以42+4=62，解得2=2,所以厂］=2‘解得“=3,所以2+“3•如图，空间四边形OABC中，OA=a，—=b，—=c.N在线段BC上，且0何=2^,则—审=()A・2a—3b—3cB.-扌玄+刼+器□21,1C・§a—2b+gcD.-2a+3b+*c解析：选DMN=ON-OM=—+CN_2OA=O€+3CBOA=Oc+2(OBB-Oc)-2—=一2—A+3ON+1OCC=-1a+3b+3c,故选D・4.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美•现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（）A.8打B.2岛C.4方D.4解析：选C因为椭圆的2a=8,2b=4,所以a=4,b=2,因为ai=bi+ci，所以c2=12c=2J3，则2c=4/3•故选C・高中数学选择性必修第一册综合检测高中数学选择性必修第一册综合检测第2页(共8页)高中数学选择性必修第一册综合检测高中数学选择性必修第一册综合检测第2页(共8页)5•已知圆x2+y2+2x—2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.—2B.—4C.—6D.—8解析：选B圆的标准方程为(x+1)2+(y—1)2=2—a,n=2—a,则圆心(一1,1)到直线x+y+2=0的距离为_斗尹2!=“..扭•由22+(“j2)2=2—a,得a=—4.6.已知在一个二面角的棱上有两个点A，B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB,AB=5,AC=3,BD=4,CD=5“运，则这个二面角的度数为()A.30°B.45°C.90°D.150°解析：选C设这个二面角的度数为么，由题意得(5亍=CA+AB+BD,・•・CD2=CA2+AB2+BD2+21CA1・1丽|cos(—a),A(^'2)1=9+25+2X3X4Xcosa,解得cosa=0,Aa=90°,即这个二面角的度数为90°,故选16C.27.直线l与抛物线C：y2=2r交于A,B两点，O为坐标原点，若直线OA,OB的斜率k1，k2满足氐禹=3,则直线l过定点()A.(—3,0)B.(0,—3)C.(3,0)D.(0,3)解析：选A设直线l的方程为x=my+b,A(X],y)B(x2,y2)，因为kik2=|,所以垃=3又y2=2x1,y2=2x2，所以y1y2=6•将直线l:x=my+b代入抛物线C：y2=2x得y2—2my—2b=0,所以y1y2=—2b=6,所以b=—3,即直线l:x=my—3,所以直线l过定点(一3,0).8.设椭圆X2+y2=1和双曲线^—y2=1的公共焦点为F1，F2,P是两曲线的一个公共点，则cosZF]PF2的值等于()A1B・fC19解析：选A由题意知,D・3F「2,0),F2(2,0),X2+y2J6+2解方程组X2l3—y2=1,9x2=213=2取P点坐标为9则PF1=l—2—呼'用,码=(2-乎—规COS"PF2=2-4+23-高中数学选择性必修第一册综合检测高中数学选择性必修第一册综合检测第4页（共8页）高中数学选择性必修第一册综合检测高中数学选择性必修第一册综合检测第4页（共8页）高中数学选择性必修第一册综合检测高中数学选择性必修第一册综合检测第3页(共8页)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列各组向量中，是平行向量的是()a=(12，—2),b=(—2,—4,4)c=(1,O,0),d=(—3,0,0)e=(2,3,0),f=(0,0,0)g=(－2,3,5),h=(16,－24,40)解析：选ABC对于A,有b=-2a，所以a与b是平行向量；对于B,有d=-3c，所以c与d是平行向量；对于C,f是零向量，与e是平行向量；对于D,不满足g=Zh，所以g与h不是平行向量.已知点A(-1,1),B(3,1),直线l过点C(13)且与线段AB相交，则直线l与圆(x—6)2+y2=2的位置关系是()A.相交B.相离C.相切D.不好确定解析：选BC因为kAC=1,kBC=-1,直线l的斜率的范围是(一8,-l]U[1，+8)，直线BC方程为x+y-4=0,圆(x-6)2+y2=2的圆心(6,0)到直线BC的距离为V2,因此圆(x-6)2+y2=2与直线BC相切，结合图象可知，直线l与圆(x-6)2+y2=2的位置关系是相切或相离.已知双曲线C过点(3,远)且渐近线为y=±¥x,则下列结论正确的是()C的方程为3—y2=1C的离心率为、打曲线y=ex-2—1经过C的一个焦点直线x—,2y—1=0与C有两个公共点解析：选AC：•双曲线的渐近线为y=±W，•:设双曲线C的方程为芍一y2=2QH0),又过点(3,'2)得2=1•故选项A正确；此时C的离心率e为寻，故B选项错误；y=ex-2-1经过C的焦点(2,0),故选项C正确；联立直线和双曲线C的方程，得J=0,故有一个公共点，所以D选项错误.已知过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S,则雳的可能取值是()A.1B.2C.3D.4解析：选CD由题意知，y2=8x的焦点F的坐标为(2,0).直线l的斜率存在且不为0,设直线l方程为y=k(x-k(x-2).由・y=k(x—2),y2=8x，消去y整理得kx2-4(k2+2)x+4k2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x0,y0),S(x3,儿），则®+X2=驾严，故X0="于2=丝尹，y0=k（XO—2）=k所以ks=：=k+2，直线OS的方程为y=k2+2X，代入抛物线方程，解得x=（kl+1，由条件知k2>0•所以0RI=X3=k2+2>2.故选C、D.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.已知圆C：（x-2）2+（y-1）2=10与直线l：2x+y=0,则圆C与直线l的位置关系是•解析：由题意有圆心C（2,1）,半径/则圆心到直线解析：由题意有圆心C（2,1）,半径/则圆心到直线l:2x+y=0的距离d=,'2+15=-丘0,故直线与圆C相交.答案：相交BAA114•已知平行六面体ABCD-ABCD],AB=AD=AA]=1，ZBAD=ZBAA1=ZDAA1=60。，则AC1=•解析：•・・AB=AD=AA1=1,NBAD=NBAA1=NDAA1=60。，—=-D—=-T—=-T—=-D—=-D—=-T1—=-T—=-^a—=-T.—=-T：・AB・AD=AD-AA=AB-AA1=2，VAC1=AB+AD+AAV:.AC12=A]B2+ADD2+A4^2+2—B•AD+2AD-^AT1+2i=6,.・・1—1='6・答案15•已知A（2,Q）是椭圆X2+y=1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x=4的距离为d，则mAFI

，d解析：A（2，迈）是椭圆m+y=1上一点，代入可得m+|=1，解得m=8，：c=\a,2—b2=2,F（2,0）.：・AFI=-J（2-2）2+（、Q-0）2=j2，点F到直线x=4的距离为d=2,：・AF!—迈答案：8¥16.已知F为双曲线E：X2^i|=1（a>0，b>0）的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A,且交另一条渐近线于点〃，若IOFI=IFBI,则双曲线E的离心率是.可得在直角三a2+b202解析：双曲线e：玄一苣=1的渐近线方程为y可得在直角三a2+b202角形OAB中，由ZAOF=NBOF=NABO=30。，可得彳[丄b2,丄14:2谄1+02=1+3=3，："=答案.答^案•3四、解答题（本大题共6小题，共70分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知直线l的方程为3r+4y-12=0,分别求下列直线卩的方程，卩满足：⑴过点（一1,3），且与l平行.高中数学选择性必修第一册综合检测高中数学选择性必修第一册综合检测第6高中数学选择性必修第一册综合检测高中数学选择性必修第一册综合检测第#页(共8页)(2)与直线I关于y轴对称.33解：(1)因为1〃卩，所以I'的斜率为一4，所以直线l的方程为y—3=—：(x+1)，即3r+4y-9=0.(2)1与y轴交于点(0,3),该点也在直线I'上，在直线l上取一点A(4,0)，则点A关于y轴的对称点A'(-4,0)在直线1'上，所以直线1'经过(0,3)和(一4,0)两点，故直线1'的方程为3x-4y+12=0.18(12分)直线1经过两点(2,1),(6,3).求直线1的方程；⑵圆C的圆心在直线1上，并且与x轴相切于(2,0)点,求圆C的方程.3—11解：(1)由已知可得，直线1的斜率k=6一2=2，所以直线1的方程为x-2y=0.因为圆C的圆心在直线1上，所以可设圆心坐标为(2a,a)，因为圆C与x轴相切于(2,0)点，所以圆心在直线x=2上，所以a=1，所以圆心坐标为(2,1)，半径为1，所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.19・(12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA=2,E为BB1中点.AB证明：AC丄DE；AB求DE与平面AD1E所成角的正弦值.解：(1)证明：连接BD,VD1D丄平面ABCD,ACu平面ABCD,•••DD丄AC・在长方形ABCD中，AB=BC,・・・BD丄AC・又BDAD1D=D,・・・AC丄平面BBDD,VD1Eu平面BBDD,^AC丄DE・⑵以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

AA则A(1,0,O),3(0,O,2),E(1,1,1),AEE=(0,1,1),码=(一1,0,2),IDE=(1,1,1).设平面AD1E的法向量为n=(兀，y,z),n・ADn・AD]=0,、n・aE=0,一兀+22=0,y+z=0,令z=1,得n=(2,—1,1).cos〈cos〈n.De〉2—1+1、J2=^F=3,:・:・DE与平面AD20.(12分)已知抛物线C：兀2=勾的焦点为F,直线y=kx+m(m>0)与抛物线C交于不同的两点M,N.(1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值；⑵若m=2,求MFI・NFI的最小值.解：(1)设M(x1,y1),N(x2,y2)，对y=N求导得:/xy=2，xx故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为才和罗，又切线互相垂直，•••凳行-1,即兀严2=-4，把y=kx+m代入C的方程得x2—4kx—4m=0.•X1X2=_4m・故m=1.⑵设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线定义可知IMFI=yx+1，INFI=y2+1，由(1)和m=2,知X]X2=—8，X]+x2=4k，所以MF卜INFI=(y1+1)(y2+1)=(kx1+3)・(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=4k2+9，所以当k=0时，IMFI・INFI取得最小值，且最小值为9.21.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD,CD丄PD,AD〃BC,AD=CD=1,BC=2,二面角P-CD-A为45°,E为PD的中点，点F在PC上，且PC=3PF.(1)求证：四边形ABCD为直角梯形；

(2)求二面角F-AE-D的余弦值.解：⑴证明：因为PA丄平面ABCD,所以PA丄CD・又因为PD丄CD,PAQPD=P,所以CD丄平面PAD,所以CD±^.因为AD〃BC,且ADHBC,所以四边形ABCD为直角梯形.-1,0),C(1,1,0),D(0,1,0),(2)过点A作AD的垂线交BC于点M,则PA丄AM,PA丄AD,以A为坐标原点，分别以AM,AD,为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系-1,0),C(1,1,0),D(0,1,0),由(1)知CD丄AD,又CD丄PD,则ZPDA为二面角P-CD-A的平面角，所以ZPDA=45°,PA=1,所以P(0,0,i),e(o,2g,所以AE=£,2'2丿,PC=(1,1,-1),AP=12A3,3丿，y+z=o,x+y+2z=0，所以—歹=1—c=(3,312A3,3丿，y+z=o,x+y+2z=0，n「AE=0,Ml1_即MlinfAF=0,令z=1,则y=—1,x=—1,所以叫=(一1,—1,1),又平面PAD的一个法向量为n2=(1,0,0),nrn2一1壺所以COS〈叫，丐〉=叫|.%|=”.打=一由图知二面角F-AE-D为钝角，所以二面角F-AE-D的余弦值为一宇・F2,过点F1与y轴垂直的直线22.(12分)已知椭圆C：O2+|2=F2,过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点，AMNF2的面积为<3,椭圆C的长轴长是短轴长的2倍.(1)求椭圆C的标准方程；⑵已知0为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,B两个不同的点，若存在实数2,使得O=40A+40芨，求m的取值范围.C2