1-4-1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 作业1

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系夯实基础一、选择题1.(2020北京一零一中学期中)若A(-1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A.(1，2，4)B.(1，4，2)C.(2，1，4)D.(4，2，1)【答案】A【解析】由已知得AB=(1，4，10)-(-1，0，2)=(2，4，8)=2(1，2，4)，故选项A中的向量与AB共线，故选A.2.(2022山东临沂平邑一中月考)已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1=(2，-3，1)，向量AB=(1，0，-2)，AC=(1，1，1)，则()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α与平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能【答案】A【解析】因为n1·AB=0，n1·AC=0，AB∩AC=A，所以n1也是平面ABC的法向量，又平面α与平面ABC不重合，所以平面α与平面ABC平行.故选A.3.(2022安徽师大附中期中)若直线l1，l2的方向向量分别为a=(1，2，-2)，b=(-2，3，2)，则l1与l2的位置关系是()A.l1⊥l2B.l1∥l2C.l1、l2相交但不垂直D.不能确定【答案】A【解析】由题意得a·b=-2+6-4=0，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2.故选A.二、填空题4.(2022吉林白城大安六中期中)已知直线l的一个方向向量d=(2，3，5)，平面α的一个法向量u=(-4，m，n)，若l⊥α，则m=，n=.

【答案】-6；-10【解析】∵l⊥α，∴d∥u，又d=(2，3，5)，u=(-4，m，n)，∴-42=m3=n5，解得三、解答题5.(2020陕西西安中学期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，求证：(1)BD1⊥平面AB1C；(2)平面EAC⊥平面AB1C.【证明】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则E(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，B(2，2，0)，D1(0，0，2).(1)易得AC=(-2，2，0)，AB1=(0，2，2)，BD1=(-2设平面AB1C的法向量为m=(x，y，z)，则m·AC=-2x+2y=0,m·AB1∴m=(1，1，-1)是平面AB1C的一个法向量.∵BD1=-2m，∴BD1∥m，∴BD1⊥(2)易得AE=(-2，0，1).设平面EAC的法向量为n=(x'，y'，z')，则n·AE=-2x'+z'=0,n·AC=-2x'+2y'=0,取∴n=(1，1，2)是平面EAC的一个法向量.由(1)知m=(1，1，-1)是平面AB1C的一个法向量.∵m·n=1+1-2=0，∴平面EAC⊥平面AB1C.拓展提升一、选择题1.(2021天津十三中月考)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为()A.(1，1，1)B.2C.2【答案】C【解析】连接OE.设点M的坐标为(x，y，1).因为AC∩BD=O，所以O22又E(0，0，1)，A(2，2，0)，所以OE=-22,-22,1，AM=(x-因为AM∥平面BDE，所以OE∥AM，所以x-2所以点M的坐标为22,2二、解答题2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点.求证：(1)平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)C1F∥平面ABE.【证明】以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=a，AB=b，BB1=c，则B(0，0，0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，Fa2,0,0，E(1)易得AB=(0，-b，0)，AE=a2设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，则n·AB令x=2，则y=0，z=-ac，∴n=2,0,-易知平面B1BCC1的一个法向量n'=(0，1，0).∵n'·