大理州南涧民族中学高一下学期月月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年云南省大理州南涧民族中学高一（下）3月月考数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．)1．已知集合A=｛﹣2，0，2｝，B=｛x|x2﹣x﹣2=0｝，则A∩B=(）A．∅ B．{2｝ C．{0} D．{﹣2｝2．若a=log23，b=2.11。1，c=lg2+lg5，则a,b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．无法确定3．一个长方体的棱长分别为1、2、2,它的顶点都在同一个球面上，这个球的体积为（)A． B． C．18π D．36π4．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．5．已知向量和,若，则=（)A．64 B．8 C．5 D．6．为了得到函数y=3cos2x的图象,只需把函数的图象上所有的点(）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位7．设f(x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C． D．8．设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面．下列命题正确的是（)A．若m⊂α,n⊂β,m⊥n，则α⊥β B．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m,则n⊥β9．如图,函数f（x）=Asin（2x+φ)(A＞0，｜φ｜＜）的图象过点(0，)，则f(x)的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0） B．(﹣，0） C．（,0） D．（,0）10．如图,网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的为某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A． B．1 C． D．211．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是（)A． B． C． D．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点,过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分,记这两个部分的体积分别为V1、V2（V1＜V2），则V1：V2=（）A． B． C． D．二．填空题(本大题共4小题，共20分,把答案填在题中横线上)．13．设集合A=｛﹣1，1，3｝，B=｛a+2，a2+4｝，A∩B=｛3｝，则实数a=．14．已知tanα=2，求值tan（α+)=．15．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是．16．已知向量，满足｜｜=1，=（2，1）,且+=(λ∈R)，则|λ｜=．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其它题每小题10分，共70分）17．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，M，N分别为BC，AB中点．（I）求证：MN∥平面PAC;（II）求证：平面PBC⊥平面PAM．18．已知函数f（x）=ax+b（a＞0,且a≠1）．若f（x）的图象如图所示，（1)求a,b的值;(2）记g（x)=f（x）﹣logax，判断g（x)在定义域内是否存在零点，若存在，请求出零点，若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ)求f(x）的最小正周期;（Ⅱ）求f（x)在区间[﹣，］上的最大值和最小值．20．已知向量=（1，），=（2，0），(1）求∠BAC的大小（2）求向量在向量AC方向上的投影．21．如图1,等腰梯形BCDP中,BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC,且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P’AB的位置（如图2），使∠P’AD=90°．（Ⅰ）求证:CD⊥平面P'AC；（Ⅱ)求三棱锥A﹣P'BC的体积；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．22．如图所示，在三棱锥D﹣ABC中,AB=BC=CD=2,AD=2，∠ABC=90°，平面ACD⊥平面ABC．（1）求证:AB⊥BD；(2）求点C到平面ABD的距离．

2016—2017学年云南省大理州南涧民族中学高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．已知集合A=｛﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅ B．｛2｝ C．｛0} D．｛﹣2｝【考点】1E：交集及其运算．【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A=｛﹣2,0，2｝，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2｝,∴A∩B={2｝．故选B2．若a=log23，b=2。11。1，c=lg2+lg5，则a,b，c的大小关系为（)A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．无法确定【考点】4M:对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log23∈（1,2），b=2.11.1＞2,c=lg2+lg5=1,∴b＞a＞c,故选：A．3．一个长方体的棱长分别为1、2、2，它的顶点都在同一个球面上,这个球的体积为(）A． B． C．18π D．36π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的体积．【解答】解：长方体的体对角线的长是:=3球的半径是：这个球的体积：=故选B．4．已知sinα=,则cos（π﹣2α）=（)A．﹣ B．﹣ C． D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos(π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos(π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣,故选：B．5．已知向量和，若，则=（）A．64 B．8 C．5 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据两向量垂直数量积为0，列出方程求出t的值，再求模长．【解答】解：向量和，若,则•=0，即﹣2t+（t+2)=0，解得t=2;∴+=(2﹣2，1+4)=(0，5）,∴=5．故选：C．6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin(ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，可得结论．【解答】解：把函数的图象上所有的向左平移个单位，可得函数y=3sin［2（x+）+]=3sin（2x+）=3cos2x的图象，故选：D．7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时,f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C． D．【考点】3I：奇函数；3Q：函数的周期性．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（)，代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x)=2x(1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×(1﹣）=﹣,故选：A．8．设m，n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面．下列命题正确的是（)A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n,则α⊥β B．若α∥β，m⊥α,n∥β,则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m,则n⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行;在B中，推导出m⊥β,所以m⊥n；在C中，m与n相交、平行或异面;在D中，n与β相交、平行或n⊂β．【解答】解：由m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中,若m⊂α,n⊂β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若α∥β,m⊥α，n∥β，则m⊥β，所以m⊥n，故B正确；在C中，若α⊥β，m⊥α,n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n与β相交、平行或n⊂β，故D错误．故选:B．9．如图,函数f（x）=Asin（2x+φ)（A＞0，｜φ|＜）的图象过点（0,），则f（x)的图象的一个对称中心是（）A．(﹣，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．(，0）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由函数图象可知A=2，由图象过点（0，），可得sinφ=，由|φ｜＜，可解得φ，由2x+=kπ,k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z，对比选项即可得解．【解答】解：由函数图象可知：A=2,由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜,解得：φ=，即有:f（x）=2sin(2x+）．由2x+=kπ,k∈Z可解得:x=，k∈Z，故f（x)的图象的对称中心是：（,0)，k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选:B．10．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的为某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A． B．1 C． D．2【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】依三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度,利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解:依三视图知该几何体为三棱锥P﹣ABC且PD⊥平面ABD，AD⊥BD，C是AD的中点，PD=AD=BD=2,所以其体积，故选:A．11．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则θ的最小值是（）A． B． C． D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】y=cosx+sinx=2cos（x﹣），故将函数平移后得到y=2cos（x﹣﹣θ），由于平移后的新函数是偶函数,得cos(﹣x﹣﹣θ)=cos(x﹣﹣θ）,即cos（x++θ）=cos(x﹣﹣θ）恒成立，于是x++θ=x﹣﹣θ+2kπ,解出θ=kπ﹣．【解答】解:∵y=cosx+sinx=2cos(x﹣）,∴将函数平移后得到的函数为y=2cos（x﹣﹣θ)，∵y=2cos（x﹣﹣θ)的图象关于y轴对称，∴cos(﹣x﹣﹣θ）=cos（x﹣﹣θ）,即cos（x++θ）=cos（x﹣﹣θ）恒成立．∴x++θ=x﹣﹣θ+2kπ，解得θ=kπ﹣．∵θ＞0，∴当k=1时，θ取最小值．故选：D．12．如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分,记这两个部分的体积分别为V1、V2（V1＜V2），则V1:V2=(）A． B． C． D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出截面，分别求出体积，即可求出V1:V2．【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2a，则过点D1、E、F的截面下方体积为﹣=，∴另一部分体积为8a3﹣=,∴V1：V2=，故选C．二．填空题(本大题共4小题，共20分，把答案填在题中横线上）．13．设集合A={﹣1,1，3｝,B={a+2,a2+4｝，A∩B=｛3｝,则实数a=1．【考点】1E:交集及其运算．【分析】因为A∩B=｛3}，所以3∈{a+2,a2+4}即a+2=3或a2+4=3，解出a即可．【解答】解:因为A∩B=｛3｝，根据交集的运算推理得：3是集合A和集合B的公共元素,而集合A中有3，所以得到a+2=3或a2+4=3(无解,舍去)，解得a=1．故答案为114．已知tanα=2，求值tan(α+）=﹣3．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角和的正切公式计算求得结果．【解答】解:∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3，故答案为:﹣3．15．设函数f（x)=,则满足f（x)≤2的x的取值范围是[0,+∞）．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点；5B：分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．【解答】解：由分段函数可知，若x≤1，由f（x）≤2得，21﹣x≤2,即1﹣x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x＞1,由f（x)≤2得1﹣log2x≤2，即log2x≥﹣1，即x，此时x＞1,综上：x≥0，故答案为：［0，+∞)．16．已知向量，满足｜|=1，=（2，1)，且+=（λ∈R），则｜λ|=．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】设=（x，y）．由于向量，满足｜｜=1，=（2，1），且+=（λ∈R)，可得，解出即可．【解答】解：设=(x，y)．∵向量，满足||=1，=(2,1）,且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+(2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，17题10分,其它题每小题10分，共70分）17．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2,M，N分别为BC,AB中点．（I）求证：MN∥平面PAC；（II）求证:平面PBC⊥平面PAM．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）由M、N分别为BC,AB中点，可得MN∥AC．即可证明MN∥平面PAC．（II）只需证明PA⊥BC．MN⊥BC，即可证明BC⊥平面PAM．即平面PBC⊥平面PAM．【解答】证明:（I）因为M、N分别为BC，AB中点，所以MN∥AC．因为MN⊄平面PAC，AC⊂平面PAC,所以MN∥平面PAC．(II）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC．因为AB=AC=2，M为BC的中点，所以MN⊥BC．因为AM∩PA=A，所以BC⊥平面PAM．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM．18．已知函数f（x)=ax+b(a＞0，且a≠1）．若f(x）的图象如图所示，(1）求a，b的值；（2)记g（x）=f（x）﹣logax,判断g（x）在定义域内是否存在零点，若存在,请求出零点，若不存在，请说明理由．【考点】3O：函数的图象．【分析】（1）由图象得，点（1，0）,（0，﹣1）在函数f(x）的图象上，代值计算即可,（2）分别画出y=2x﹣2，y=log2x的图象,由图象可得函数的零点．【解答】解：(1)由图象得，点（1，0),（0，﹣1）在函数f（x）的图象上，所以，解得∴f（x)=2x﹣2．（2）g（x）=f（x)﹣logax=2x﹣2﹣log2x，其定义域为（0，+∞）令g（x）=2x﹣2﹣log2x=0，则2x﹣2=log2x，分别画出y=2x﹣2，y=log2x的图象，如图所示,由图象可得，y=2x﹣2，y=log2x的图象只有一个交点，即x=1,故存在函数的零点，且零点为119．已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ)求f（x）在区间［﹣，]上的最大值和最小值．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；H1：三角函数的周期性及其求法；H4：正弦函数的定义域和值域．【分析】(Ⅰ)先逆用二倍角公式,然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式,利用周期公式T=求周期；（Ⅱ）根据正弦函数的最值结合定义域求函数y=2sin（2x+）最值．【解答】解：（Ⅰ)∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈［﹣，],∴2x+∈［﹣，］∴﹣1≤2sin（2x+)≤2∴函数f（x）在区间［﹣，]上的最小值为﹣1,最大值为2．20．已知向量=(1,）,=（2,0），(1）求∠BAC的大小(2)求向量在向量AC方向上的投影．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）先求出、的坐标，利用两个向量的数量积的定义，求得∠BAC的大小．（2）根据一个向量在另一个向量上的投影的定义，求得向量在向量AC方向上的投影．【解答】解:（1）∵向量=（1，)，=（2，0)，∴=（﹣1,﹣），==（1，﹣）∴cos∠BAC===，∴∠BAC=．（2)向量在向量AC方向上的投影为||•cos（π﹣∠BAC）=2(﹣cos∠BAC)=2•（﹣）=﹣1．21．如图1，等腰梯形BCDP中,BC∥PD，BA⊥PD于点A,PD=3BC,且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P’AD=90°．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P’AC；（Ⅱ）求三棱锥A﹣P’BC的体积；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出P’A⊥AD，AB⊥AP'．从而P'A⊥面ABCD．进而P’A⊥CD,再求出AC⊥CD．由此能证明CD⊥平面P'AC．（Ⅱ）由VA﹣P’BC=VP’﹣ABC,能求出三棱锥A﹣P'BC的体积．（Ⅲ）取P’A中点M，P’D中点N，连结BM，MN，NC，推导出四边形BCNM为平行四边形，由此能求出存在一点M，M为P’A的中点，使得BM∥面P’CD．【