泰安市2024届数学九上期末统考试题含解析

泰安市2024届数学九上期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3cm，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（）A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m2．（11·大连）某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，则()A．甲比乙的产量稳定 B．乙比甲的产量稳定C．甲、乙的产量一样稳定 D．无法确定哪一品种的产量更稳定3．如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3 C．6 D．94．如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（）A．-3 B．-2 C．-1 D．05．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm6．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝2107．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．108．在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（）A．米 B．米 C．米 D．米9．若关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．10．方程的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=211．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，下列结论:①;②;③;④若是该抛物线上的点，则;其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图示一些小正方体木块所搭的几何体，从正面和从左面看到的图形，则搭建该几何体最多需要块正方体木块．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=______15．已知二次函数，用配方法化为的形式为_________________，这个二次函数图像的顶点坐标为____________.16．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为．17．已知直线y＝kx（k≠0）与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则2x₁y₂+x₂y₁的值是_____．18．如图，四边形是菱形，经过点、、与相交于点，连接、，若，则的度数为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．20．（8分）先化简再求值：其中.21．（8分）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?22．（10分）若直线与双曲线的交点为，求的值．23．（10分）已知关于的方程（1）求证：无论为何值，方程总有实数根.（2）设，是方程的两个根，记，S的值能为2吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由.24．（10分）（1）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，﹣2）与（4，1），求这个二次函数的表达式；（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y＝x2+bx+c表达式的题目，使所得到的二次函数与（1）题得到的二次函数相同，并写出你的求解过程．25．（12分）阅读下列材料：小辉和小乐一起在学校寄宿三年了，毕业之际，他们想合理分配共同拥有的三件“财产”：一个电子词典、一台迷你唱机、一套珍藏版小说.他们本着“在尊重各自的价值偏好基础上进行等值均分”的原则，设计了分配方案，步骤如下（相应的数额如表二所示）：①每人各自定出每件物品在心中所估计的价值；②计算每人所有物品估价总值和均分值（均分：按总人数均分各自估价总值）；③每件物品归估价较高者所有；④计算差额（差额：每人所得物品的估价总值与均分值之差）；⑤小乐拿225元给小辉，仍“剩下”的300元每人均分.依此方案，两人分配的结果是：小辉拿到了珍藏版小说和375元钱，小乐拿到的电子词典和迷你唱机，但要付出375元钱.（1）甲、乙、丙三人分配A，B，C三件物品，三人的估价如表三所示，依照上述方案，请直接写出分配结果；（2）小红和小丽分配D，E两件物品，两人的估价如表四所示（其中0＜m-n＜15）.按照上述方案的前四步操作后，接下来，依据“在尊重各自的价值偏好基础上进行等值均分”的原则，该怎么分配较为合理？请完成表四，并写出分配结果.（说明：本题表格中的数值的单位均为“元”）26．例：利用函数图象求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．解：画出函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是﹣0.1，2.1．所以方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根为x1≈﹣0.1，x2≈2.1．我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．……这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程．根据你对上面教材内容的阅读与理解，解决下列问题：（1）利用函数图象确定不等式x2﹣4x+3＜0的解集是；利用函数图象确定方程x2﹣4x+3＝的解是．（2）为讨论关于x的方程|x2﹣4x+3|＝m解的情况，我们可利用函数y＝|x2﹣4x+3|的图象进行研究．①请在网格内画出函数y＝|x2﹣4x+3|的图象；②若关于x的方程|x2﹣4x+3|＝m有四个不相等的实数解，则m的取值范围为；③若关于x的方程|x2﹣4x+3|＝m有四个不相等的实数解x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），满足x4﹣x3＝x3﹣x2＝x2﹣x1，求m的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】先根据勾股定理求出CE，再利用相似三角形的判定与性质进而求出DF、AF的长即可得出AD的长．【题目详解】解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，∴△CBE∽△AFB，∴＝＝，∵BC＝2.6m，BE＝1m，∴EC＝2.4（m），即＝＝，解得：FB＝，AF＝，∵△CDF∽△CEB，∴＝，即解得：DF＝，故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），答：此时点A离地面的距离为2.2m．故选：A．【题目点拨】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质，利用勾股定理，正确利用相似三角形的性质得出FD的长是解题的关键．2、A【解题分析】方差是刻画波动大小的一个重要的数字.与平均数一样，仍采用样本的波动大小去估计总体的波动大小的方法，方差越小则波动越小，稳定性也越好.【题目详解】因为s＝0.002<s＝0.03，所以，甲比乙的产量稳定.故选A【题目点拨】本题考核知识点：方差.解题关键点：理解方差意义.3、A【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【题目详解】连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=10°，OB=1，∴AO=1，则OP=6，故BP=6-1=1．故选A．【题目点拨】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．4、B【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可．【题目详解】解得∴k的最大整数值是-2故选：B．【题目点拨】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．5、B【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．【题目详解】∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，∴OP=4cm．故选：B．【题目点拨】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．6、B【题目详解】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；则总共送出的图书为x(x−1)；又知实际互赠了210本图书，则x(x−1)=210.故选：B.7、D【题目详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6∴AB==10，故选D．考点：解直角三角形；8、D【分析】根据在同一时刻，物高和影长成正比，由已知列出比例式即可求得结果．【题目详解】解：∵在同一时刻，∴小强影长：小强身高=大树影长：大树高，即0.8：1.6=4.8：大树高，解得大树高=9.6米，故选：D．【题目点拨】本题考查了相似三角形在测量高度是的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键是．9、B【分析】因为一元二次方程有实数根，所以，即可解得．【题目详解】∵一元二次方程有实数根∴解得故选B【题目点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握方程根的个数与根的判别式之间关系是解题关键．10、C【解题分析】试题解析：x（x+1）=0，

⇒x=0或x+1=0，

解得x1=0，x1=-1．

故选C．11、C【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由x=-1时y＞0可判断③；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=-2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断④．【题目详解】∵抛物线的对称轴为直线，

∴，所以①正确；

∵与x轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，

∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，

∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；

∵由②、①知，时y＞0，且，

即＞0，所以③正确；∵点与点关于对称轴直线对称，∴，∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线，

∴当，函数值随的增大而减少，

∵，∴，∴，故④错误；综上：①②③正确，共3个，

故选：C．【题目点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；抛物线与x轴交点个数由决定．12、D【解题分析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．【题目详解】∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．【题目点拨】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．二、填空题（每题4分，共24分）13、１６【解题分析】根据俯视图标数法可得，最多有1块；故答案是1．点睛：三视图是指一个立体图形从上面、正面、侧面（一般为左侧）三个方向看到的图形，首先我们要分清三个概念：排、列、层，比较好理解，就像我们教室的座位一样，横着的为排，竖着的为列，上下的为层，如图所示的立体图形，共有两排、三列、两层．仔细观察三视图，可以发现在每一图中，并不能同时看到排、列、层，比如正视图看不到排，这个很好理解，比如在教室里，如果第一排的同学个子非常高，那么后面的同学都被挡住了，我们无法从正面看到后面的同学，也就无法确定有几排．所以，我们可以知道正视图可看到列和层，俯视图可看到排和层列，侧视图可看到排和层．14、【解题分析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90∘,AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD−C′D=−1.故答案为：−1.点睛:本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．15、【分析】先利用配方法提出二次项的系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，再根据顶点式即可得到顶点的坐标.【题目详解】利用完全平方公式得：由此可得顶点坐标为.【题目点拨】本题考查了用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式、以及二次函数顶点坐标，熟练运用配方法是解题关键.16、12﹣4【题目详解】试题分析：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=，∴∠AOE=45°，ED=1，∴AE=EO=，DO=﹣1，∴S正方形DNMF=2（﹣1）×2（﹣1）×=8﹣4，S△ADF=×AD×AFsin30°=1，∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣4=12﹣4．故答案为12﹣4．考点：1、旋转的性质；2、菱形的性质．17、1【分析】由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，则有x₂＝﹣x₁，y₂＝﹣y₁．由A（x₁，y₂）在双曲线y＝﹣上可得x₁y₁＝﹣5，然后把x₂＝﹣x₁，y₂＝﹣y₁代入2x₁y₂+x₂y₁的就可解决问题．【题目详解】解：∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝﹣都是以原点为中心的中心对称图形，∴它们的交点A、B关于原点成中心对称，∴x₂＝﹣x₁，y₂＝﹣y₁．∵A（x₁，y₁）在双曲线y＝﹣上，∴x₁y₁＝﹣5，∴2x₁y₂+x₂y₁＝2x₁（﹣y₁）+（﹣x₁）y₁＝﹣3x₁y₁＝1．故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数及反比例函数图象的对称性等知识，得到A、B关于原点成中心对称是解决本题的关键．18、【分析】根据菱形的性质得到∠ACB＝∠DCB＝（180°−∠D）＝51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D＝78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【题目详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝78°，

∴∠ACB＝∠DCB＝（180°−∠D）＝51°，

∵四边形AECD是圆内接四边形，

∴∠AEB＝∠D＝78°，

∴∠EAC＝∠AEB−∠ACE＝27°，

故答案为：27°．【题目点拨】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）tan∠DCE＝；（2）＝．【分析】（1）根据已知条件求出CD，再利用勾股定理求解出ED，即可得到结果；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，根据平行线分线段成比例即可求得结果；【题目详解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝，∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝，∵E是AD的中点，∴ED＝AD＝6，∴tan∠DCE＝；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴，，∴AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x∴．【题目点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，结合勾股定理和平行线分线段成比例求解是解题的关键．20、【解题分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可.【题目详解】解：原式，当时，原式．【题目点拨】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键.21、（1）；（2）该公可若想获得10万元的年利润，此设备的销售单价应是3万元.【解题分析】分析：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．详解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，53）代入y=kx+b，得：，解得：，∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1．（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1）台，根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1）=10，整理，得：x2﹣130x+4000=0，解得：x1=3，x2=2．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=3．答：该设备的销售单价应是3万元/台．点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22、1【分析】根据直线与双曲线有交点可得，变形为，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，再化简为，再将的值代入即可得出答案．【题目详解】解：由题意得：，∴，∴∴＝故答案为：1．【题目点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，根据一元二次方程的根与系数的关系得出的值是解题的关键．23、（1）见解析；（2）时，S的值为2【解题分析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；

（2）由韦达定理得，代入到中，可求得k的值．【题目详解】解：（1）①当，即k=1时，方程为一元一次方程，∴是方程的一个解.②当时，时，方程为一元二次方程，则，∴方程有两不相等的实数根.综合①②得，无论k为何值，方程总有实数根.（2）S的值能为2，根据根与系数的关系可得∴，即，解得，∵方程有两个根，∴∴应舍去，∴时，S的值为2【题目点拨】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握，是解题的关键.24、（1）y＝x2﹣4x+1；（2）题目见解析，求解过程见解析．【分析】（1）把已知点的坐标代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然