充要条件课件高一上学期数学人教A版2

1.4.2充要条件第一章集合与常用逻辑用语学

习

目

标1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义；2.理解数学定义与充要条件的关系．知识点一逆命题将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“___________”，称这个命题为原命题的逆命题．若q，则p1．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________________．答案：若x>0，则x>12．命题“正三角形都相似”的逆命题是________________________．解析：原命题：若三角形是正三角形，则这些三角形相似．逆命题：若三角形相似，则这些三角形是正三角形．答案：若三角形相似，则这些三角形是正三角形知识点二充要条件命题真假如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题推出关系既有p⇒q，又有q⇒p，记作_______条件关系p既是q的充分条件，也是q的必要条件名称p是q的____________条件，简称为______条件

p⇔q充分必要充要对充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件：即“p成立则q一定成立；p不成立则q一定不成立”．(2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件．例1、在下列各题中，试判断p是q的什么条件（充分必要性）．(1)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，∠C>∠B；【解】

由三角形中大边对大角,大角对大边的性质可知p是q的充要条件．(2)p：A⊆B，q：A∪B＝B；【解】若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件．(3)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3.【解】因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件．判断充分条件、必要条件及充要条件三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．√练习1：“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(

)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋(y－2)2＝0，得x＝0且y＝2，所以x(y－2)＝0.反之，由x(y－2)＝0，得x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．故选B.√练习2：若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的(

)A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为A是B的充分条件，所以A⇒B

①；因为D是C的必要条件，所以C⇒D

②；因为C是B的充要条件，所以C⇔B

③.由①③得A⇒C

④，由②④得A⇒D，所以D是A的必要条件．故选B.考点一充要条件的证明例2、求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.【证明】①充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.综上：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．注意：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．考点二充分、必要及充要条件的应用例3、已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．练习3：若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：依题意，“若x>6，则x>a”为真命题，故实数a的取值范围是{a|a≤6}．答案：{a|a≤6}练习4：在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，求此时a的取值集合M.问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？练习4：在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，求此时a的取值集合M.问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的____