小学数学统计与概率知识点汇总

1/1小学数学统计与概率知识点汇总学校数学统计与概率学问点汇总

一、数据分析观念的内涵

1.在试验稿《课标》中“统计观念”是核心概念，现在为什么改名为“数据分析观念”呢？

在《不列颠百科全书》中关于统计学是这样定义：统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。

的确，统计学的一个讨论对象是数据，它是通过收集数据，以及对数据的分析来帮我们解决问题的。在义务教育阶段我们处理的数据都是有实际背景的，正如课表组组长史宁中教授所述：“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。”

可见，统计学的一个核心是数据分析，试验稿中叫统计观念，现在叫数据分析观念，这两点并没有本质性的不同，而是用这样的语言更加点出了统计的核心就是数据分析让人一目了然。

2.数据分析观念的内涵

在课标当中，对于数据分析观念，有这样的描述：了解在现实生活中有很多问题应当先做调查讨论，收集数据，通过分析做出推断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要依据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面说明只要有足够的数据就可能从中发觉规律。数据分析是统计的核心。

3.如何进展同学的“数据分析观念”？

第一，就是让同学去经受这个数据分析的过程，体会数据中蕴含的信息。

例如，清华附属学校安华老师执教的一班级《统计》。安老师为同学供应了四部动画片，选出大家最喜爱看的一部进行播放。同学的想法各不相同，这可怎么办呢？老师启发同学自己去想方法，让同学感悟到我们是为了解决问题而来做统计的。统计什么？怎样统计呢？同学自始至终都在思索中，他们最先想到举手表决，却没有精确     统计出结果，然后又连续想方法，有的同学说站起来这样数的更清晰了，还有说在小组内去统计，然后我们再汇总，最终大家都统一到用投票表决的方法来统计。当数据统计上来以后，如何让同学体会数据中蕴含的信息呢？安老师让同学利用数据来推断，看哪部动画片，要用数据来说话。恰巧当时这个班正好有一个孩子是请假没来，老师提出问题：假如这名同学也来投票表决，还是去看“多啦A梦”吗？同学依据数据利用简洁推理也做出了推断。

其次，鼓舞同学把握数据分析的方法，依据问题的背景能选择合适的方法。

例如，体育课上11名男同学100米跑的成果：13秒217秒13秒515秒812秒17秒116秒715秒617秒16秒616秒7。

平均数：15秒6，中位数：16秒6

（1）假如选择参与一项竞赛，盼望有一半的男同学可以参与，选择哪个成果作为标准？

（2）假如盼望确定一个较高的标准，选择哪个成果作为标准？（答案不唯一）

（3）假如要确定一个标准，你如何确定？为什么？

第三，通过数据分析，让同学感受数据的随机性。

史宁中说：“统计与概率领域的教学重点是进展同学的数据分析意识，培育

同学的随机观念，难点在于，如何创设恰当的活动，体现随机性以及数据获得、分析、处理进而作出决策的全过程。”

例如：上学时间。

同学记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，假如把记录时间精确到分，可能同学每天上学途中需要的时间是不一样的，可以让同学感悟数据的随机性；更进一步，让同学感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到许多信息，比如，通过一个星期的调查可以知道“也许”需要多少时间。

为什么我们要在统计概率教学中，把数据分析观念作为一个核心概念呢？可以从标准解读中对核心概念的价值进行分析。

在标准解读中，提出了四个方面的价值。第一，它们是同学在义务教育阶段数学课程中最应培育的数学素养，是促进同学进展的重要方面(教育价值)；其次，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键；第三，核心概念本质上体现的是数学的基本思想；第四，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应当成为数学课堂教学的目标，并通过老师的教学予以落实。

二、统计与概率的内容变化及主线分析

（一）新课标中关于“统计与概率”的内容标准

1.《标准》中有关“统计与概率”的内容标准

2．分析调整缘由

“统计与概率”内容结构做了较大调整，使三个学段内容学习的层次性更加明确。强调培育数据分析观念，与同学的现实生活联系得更加紧密。内容结构上，三个学段有较大的差别。第一学段内容大削减，只保留3条要求。主要是学会分类、会进行简洁的数据搜集与整理的；其次学段分为“简洁数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分，共8条；第三学段分为“抽样与数据分析”和“大事的概率两部分”，共11条。这样调整的缘由在于，在试验过程中原来第一学段对于统计与概率内容的要求，根据同学现有的理解水平，学习有肯定困

难，教学设计与实施有很大难度。同时，在内容上与后面两个学段有很大的重复。因此，较大幅度降低了第一学段统计与概率内容的要求，对后两个学段的内容也做相关的调整，如中位数、众数等内容从其次学段移到第三学段。这样使统计与概率内容在三个学段的要求上有明显区分，在难度上也表现肯定的梯度。

（二）统计与概率的内容主线

统计与概率的内容主线，主要包括四方面的内容，第一是数据分析过程；其次是数据分析方法；第三是数据的随机性；第四是随机现象及简洁大事发生的概率。这四条主线很重要，我们常说教学问不仅仅要教给同学一颗一颗的珍宝，还需要把这些珍宝串成一条一条漂亮的项链，明显主线就是串这个项链特别重要的方面。

我们可以看到课标每个学段的第一句话，都是提出了有关过程的要求，明显就成为了统计学习的最主要或者最首要的一个主线，《标准》在三个阶段都提出了相应的要求：在第一学段中，提出“经受简洁的数据收集和整理过程”；在其次学段中，提出“经受简洁的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）”。在第三学段中，提出“经受收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为简单的数据”。

从三个学段的要求不难看到，首先过程都是重要的，其次数据分析的过程可以包括收集、整理、描述和分析，另外随着年龄的差别，在要求上会有所差别，第一学段经受简洁就可以了，到其次学段略微要把描述分析数据提出来是这样一个过程，为了使大家对这个过程，再加深理解，我们下面列举标准中的一个案例，来说明这个过程。

第一学段（《标准》例19）：对全班同学的身高进行调查分析。

从以下的数据中可以得到哪些信息呢？

第1小组116128124135128141

第2小组129130134127134138

第3小组138142119123127146

第4小组119137136138150152

第5小组125120131143135148

第6小组138132147139148139

[说明]学校一般每年都要测量同学的身高，这为学习统计供应了很好的数据资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和其次学段，依据不同学段的同学特点，要求可以有所不同。盼望同学把每年测量身高的数据都保留下来，养成保存资料的习惯。在第一学段，主要让同学感悟可以从数据中得到一些信息。教学中可以作如下设计：

（1）指导同学将全班同学的身高进行汇总。

（2）从汇总后的数据中发觉信息。比如，最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（极差），大部分同学的身高是多少（众数）等。在争论过程中，括号中的有些名词并不需要消失，但是盼望同学体会数据所代表的意义。

（3）在整理中，可以让同学尝试制造敏捷的方法。例如，查找最高，可以直接比较查找，当同学人数比较多时，也可以分组查找组内最高，然后在每组的最高中查找最高；在考虑挨次问题时，同学可能会有不同的排序方法。例如，先找到最小（大）的，然后在剩余的数中再找到最小（大）的，依次将这些数按从小（大）到大（小）的挨次进行排序；或者先固定一个数，拿其次个数与之比较，然后取第三个数与前两个数比较，依据它们之间的大小关系打算位置，这样

连续下去，最终将这些数排序。无论同学的动身点如何，只要思路清楚、排序正确即可。

其次学段（《标准》例38）：对全班同学的身高的数据进行整理和分析。

[说明]在上面的例子中，已经引导同学对全班同学的身高的数据进行初步分析。在这个学段中，要求同学结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。整理的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于直观了解不同高度段的同学数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的同学占全班同学的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来同学身高变化的状况，猜测将来身高变化趋势。同学还可以争论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。

教学设计时，可以关注如下要点：

（1）组织同学争论并明确画统计图的基本标准。假如同学意见不全都，可以依据意见的不同把同学分组，各自画出统计图后进行比较。

（2）可以把几年来全班同学平均身高的数据画出折线统计图，让同学与自己身高数据的折线图进行分析比较。还可以对男女生的身高数据进行分析和比较。

（3）组织同学争论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。同学可以用平均身高作为代表，用自己的身高与平均身高进行比较；可以用消失次数最多的身高作为代表（“众数”的意义），用自己的身高与其相比；也可以用班级中等水平同学的身高作为代表（“中位数”的意义），用自己的身高与其相比。同学只要能说出自己的理由就可以，不需要消失“众数”“中位数”等名词（只要求老师理解，不要求给同学讲解）。

（4）虽然数据整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的结论清楚，能够更好地反映实际背景。

第三学段：比较自己班级与别的班级同学的身高状况。

[说明]对于两个班级同学身高状况比较，通常可以通过平均值来推断，但有时候仅仅通过平均数是不够的，假如一个班同学之间身高差异很大，而另一个班同学之间身高差异很小，即使前一个班的平均高一些，也不能说这个班的整体状况很好。因此，在推断身高状况时，不仅要看平均值，还需要参考方差。

同样的一个内容，在不同的班级可以有不同的要求，第一学段，要求的难度，就是在提取信息的数量上，要求并不是特别的高，关键是让他意识到，感悟到数据是信息，那么到了其次学段，显得这个要求又有所变化了，总之要让同学经受数据的收集、整理、描述、分析的过程，要亲自参加其中。

三、数据分析的方法

1．收集数据的方法

在收集数据的方法中我们要把握这么几点：第一点就是我们所涉及的数据，可能是全体数据，或者我们说总体数据，也可能是通过抽样获得的数据，抽样数据，在学校阶段，同学收集的基本上都是总体数据。

其次个就是数据的来源，实际上是有两种，一种就是阅读别人现成的数据，比如说报刊资料上等等的数据，还有一点就是需要自己的调查的数据，对于学校来说除了要看别人的数据特别重要，也要自己要做一些调查数据，在这方面许多老师都有特别好的阅历和设计好的例子，比如我看到一些课堂中，老师们引入了让一班级的孩子来统计换乳牙的状况，或者让有些同学来统计看电视的时间等等，值得留意的是假如我们让同学去收集自己调查的数据，肯定要教给他们一些

方法，比如说我曾看到，有的同学并不知道什么叫乳牙，他也不知道看电视的时间应当怎么统计，所以这样以来呢，报出来的数据就不够真实，是比影响统计的效果，那我们可以支配一些活动，让同学在老师的指导下，或者在家长的关心下，让他来去调查，这样会更好。

常用的收集数据的方法包括这么几方面：调查的方法、试验的方法、测量的方法、查阅资料的方法等等。总而言之，同学应当对收集数据的方法有一个比较丰富的体验，《课标》无论在第一学段还是其次学段都提出了这样的要求，比如说在第一学段课标是这样说的，要了解一些调查、测量等收集数据的简洁方法。那么有的老师说这两个似乎也没有太大区分，其实严格意义上都是同学自己去做，当然我们可以这么理解，调查就是同学去问问自己的同伴，那么测量呢，比如说我们可以量量这个课桌有多长，我们量量我们班的课桌大体上都是多长，包括我们在前面举过的上学时间都可以理解是测量。在其次学段，明显又进了一步，要求同学能够自己来设计简洁的调查表，这跟第一学段相比有进一步的提高，而且能够选择适当的方法了，就不仅仅是了解了，在选择方法中包括了我们说的调查，可以做一些测量，还可以做一些试验，比如说我们原来确定做过的物理试验，或者说呢有的课上这样让同学做试验，反弹高度，就不同高度抛一个球，确定起始高度越高，反弹高度一般状况下都会高，那么究竟是什么关系呢，这时候通过试验来猎取一些数据。这三点都是同学能够自己获得的。当然我们也要让同学了解现成的数据，也就是从报刊、杂质、电视等等媒体中呢，有意识的获得一些数据，那么总而言之应当对收集数据的方法有比较丰富的体验。

2．整理、描述、分析数据的方法

当人们收集了一堆数据以后，这些数据往往看起来比较杂乱，这就需要来整

理数据，在不损失信息的前提下，对看起来杂乱无章的数据进行必要的归纳和整理，然后把整理后的数据运用统计图表等直观地表示出来，并加以适当的分析，为人们作出决策和推断供应依据。

常用的收集数据方法包括调查、试验、测量、查阅资料等。同学应当对收集数据的方法都有比较丰富的体验。为此，《标准》在第一学段提出“了解调查、测量等收集数据的简洁方法”；在其次学段提出“会依据实际问题设计简洁的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”“能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”。

在其次学段，同学将学习条形统计图、扇形统计图、折线统计图等常见的统计图，并且能用它们直观、有效地表示数据。其次学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋势的统计量——平均数。

统计图可以很直观反应数据，同学对统计图中数据的分析以及猜测都是数据分析观念的重要体现。对于统计图的学习，提出几点需要留意的：第一，不要急于引入正规统计图的学习，在第一学段《标准》要求鼓舞同学用自己的方式来描述数据。其次，在描述数据的过程中，使同学不断体会各种统计图的特点，能依据实际问题选择合适的统计图来描述数据。第三，鼓舞同学读懂媒体中的一些统计图表。第四，鼓舞同学从统计图中猎取尽可能地有用信息。

这个问题也是大家普遍困惑的，究竟引导同学从哪些方面来“读图”呢？

Curcio(1987)把同学对统计图的熟悉分为三个水平：（1）数据本身的读取（readingthedata），包括用能够得到的信息来回答详细的问题，这些问题图表中有明显的答案。(2)数据之间的读取（readingbetweenthedata）。这包括做比较(例如比较好、最好，最高、最小等)和对数据进行操

作(例如加减乘除)。(3)超越数据本身的读取（readingbeyondthedata），包括通过数据来进行推断猜测推理，并回答详细的问题。

在实际教学中，老师已经开头重视鼓舞同学尝试由信息来进行猜测。但是，在教学中还存在了一些误区。比如，曾经有过这样的案例：如图2，老师鼓舞同学依据某女生诞生到12岁的身高，由此去猜测这个同学15岁的身高（图2到图7中纵轴的身高单位为厘米）。

有的同学（虽然是很少数）脱离了数据去进行“猜测”：“我觉得她应当能长到190厘米，由于我盼望她去打篮球”。就是基于数据，同学也有五花八门的答案，有的说：“8岁到10岁长了10厘米，10岁到12岁长了24厘米，照这个趋势12到14岁要长30多厘米，我估量她到15岁要到2米了”；有的说：“8岁到10岁长了10厘米，10岁到12岁长了24厘米，12岁到14岁又会回到长10厘米，我估量她到15岁快到180厘米”；还有的说：“到12岁就不怎么长了，我估量她到15岁差不多170厘米。”面对五花八门的答案，老师也觉得都有道理，不知如何引导。

这里需要留意两点。第一，猜测需要基于数据。对于脱离数据进行“猜测”的同学，要引导他用数据说话，虽然这个猜测也有可能，但可能性不会大；其次，有时候为了更合理地猜测，需要我们收集更多的数据。老师可以引导同学思索：

几个同学的想法都有道理，但是要比较合理地猜测，还需要我们把握更多的信息，比如，可以收集曾经和她差不多状况的人15岁的身高来关心猜测；或者把她与当地女生平均身高进行对比，看看12岁与平均身高的对比状况，由此猜测15岁与平均身高的对比状况。当然，无论哪种猜测都不能确定是正确的，但会比单纯依靠这个同学以前的状况进行猜测要合理。进一步，假如条件允许的话，还可以鼓舞同学实际去做。在这样的思索下，一位老师做了如下的设计：依据统计图来进行“三次”猜测。

第一次，老师呈现小婷（女生）诞生到12岁的身高数据（如图2），鼓舞同学猜测她15岁的身高。和前面叙述的一样，同学基于这个数据给出了不同答案。

老师没有就此结束，而是给出了小婷15岁的身高，引起同学的反思：“实际上，小婷今年已经15岁了，她的身高是168厘米”，并得到图3。

在此基础上再鼓舞同学猜测小婷18岁的身高。同学发觉小婷12—15岁增长的幅度不大，由此推断15—18岁增长的幅度也会不大。那么是这样吗？有的同学提出可以找一些和小婷状况差不多的女孩，看看她们18岁时的身高。依据同学的想法，老师呈现了如下三个女生的身高（如图4，图5，图6）

鼓舞同学进行其次次猜测。

同学发觉虽然她们的身高详细数值不同，但15—18岁变化趋势却比较全都，增长的幅度都不大，由此可以猜测小婷到18岁很可能只比15岁时增长2厘米左右，即她18岁的身高在170厘米左右。还有的同学发觉小婷的身高值与图6所表示的女生比较接近，并且比这个女生略矮一些，由此依据这个女生18岁171厘米猜测小婷170厘米。进一步，有的同学提出只有这三个女生的数据是否太少了，不说明一般状况，还可以收集更多的数据。于是，老师给出了北京城市女生平均身高统计图（如图7），鼓舞同学进行第三次猜测。

同学发觉这组数据也有这个趋势：15到18岁的身高增长的不多，由此猜测小婷的身高是170厘米左右。有的同学则依据15岁时小婷的身高比平均身高多6厘米，由此估量小婷18岁时也要多6厘米，所以是169厘米左右。当然，这些猜测也并不能保证肯定正确。

以上“三次猜测”的案例是鼓舞同学从数据中猎取合理信息的有益尝试，在实践中我们还需要更多的案例，以及如何鼓舞同学有效猎取信息的策略，这也构

成了需要进一步讨论的问题。教学中应鼓舞同学运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，并且能够依据问题的背景选择合适的方法，而不是单纯地名词、计算方法等的把握。需要我们依据问题的背景选择合适的统计图。

总之，“统计学对结果的推断标准是‘好坏'”，而不是“对错”。

3．关于统计教学的几点建议

（1）进展同学的应用意识，感受统计的价值。

（2）老师要重视统计，并把进展同学的数据分析观念的培育作为重要的教学目标。

（3）切忌将统计的学习处理成单纯数字计算和绘图技能。

四、数据的随机性及简洁随机大事发生的可能性

1．数据随机性的内涵

数据的随机性主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发觉规律。

老师们存在这样的困惑：概率也是讨论随机现象的，那么为什么又提出数据的随机性呢？

对于这个问题，史宁中教授这样回答：我听了一些课，老师们常常这样处理：比如对于掷一枚匀称的硬币，先得到消失正面或反面的概率是1/2，然后让同学通过反复掷硬币去验证这个结果。这里有两个问题。第一，一个硬币，先假定它消失正面和反面的可能性是1/2，这是数学（或者称为概率）。这个1/2是通过概率的定义得到的，不是依靠掷硬币验证出来的。实际上，同学做了许多次试验也得不到1/2，反而更加糊涂了。其次，运用定义的方式教学随机，不能很好的培育同学的随机观念。需要指出的是，我们赞成做试验，赞成运用统计

的思想来做试验。统计是通过数据来猎取一些信息，来关心人们做出一些推断。同样是掷硬币的问题，在统计上就会这样设计试验：先让同学多次掷硬币，计算消失正面的比例（频率），然后用频率来估量一下消失正面的可能性是多大。假如这个可能性接近1/2的话，就推断这个硬币也许是匀称的，这是统计的思想。

2．合理设计试验，体会数据的随机性

《标准》中提出了“体会数据随机”的想法，如何在课堂中设计合理的试验落实“体会数据随机”的目的呢？一个好的切入点是对目前课堂教学中的试验加以分析，看看哪些试验的设计是合理的，哪些还需要进一步的思索和改进。

第一类：“验证”类

下面是一个五班级的课堂教学片段：

老师拿出一个盒子，盒子里有9个白球、1个黄球。假如从中任意摸出1个球，可能是什么颜色的球?摸到白球的可能性有多大，黄球呢？

(同学略做思索后沟通。)

生1：可能摸到白球，也可能是黄球。

生2：摸到白球的可能性是9/10，由于有10个球，其中9个是白球。

（大家都表示同意）

师:好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验证一下大家的想法。

本活动的目的是验证摸到白球的概率是否为9/10，如前所述是不提倡的。由于同学完全可以通过分析推理得到摸到白球的概率，他们产生不了做试验的需求。假如做了试验，摸到白球的频率往往不是9/10，同学反而产生困惑，当然也体会不到数据的作用了。

其次类：“体会随机”类

看下面的一个二班级的课堂教学片段：

组织小组活动：盒子里有3个黄球、3个白球。每次摸出1个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的球?每次你都猜对了么?

活动结束时，老师询问:有没有每次都猜对的同学?(全班只有2人举手。)

师:为什么我们那么多的同学都没有猜对呢?

(此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。)

生1:黄球和白球摸在手里的感觉不一样!

师:(饶有爱好地)真的吗?让我们见识一下!

生1:(摸出一球，没看前猜想)黄色!(拿出后是白色，生1低头坐了下去。)

师:怎么不试了?

生1：没有信念了。

师:怎么就没有信念了?

生1:摸在手里辨别不出来.

生2:我发觉了，假如第一次摸出来的是黄球，其次次就猜是白球，是交叉消失的。

师:你刚才就是这样猜的，结果都对了吗?

生2连连点头。

师(半信半疑地)：还有这个规律?摸1个!

(生2摸出1个白球，放回。)

生2:其次次肯定是黄球。

(其次次生2果真摸出一个黄球。)

师：看来，下次……

生2:第三次该是白球了!

(第三次生2摸出个黄球。)

师:这个规律还成立么?

同学们直摇头。

师：通过刚才的摸球嬉戏，你发觉了什么?

生:盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球.

这个案例乍一看和上面的案例一样，都是摸球，但认真分析目的是不一样的。这个试验的目的是使同学体会不确定性，即事先无法确定试验的结果。其实，同学对于不确定性的熟悉并不是一帆风顺的，同学们总是盼望找到“确定”的结论。有的同学认为可以凭手感推断段结果，有的同学把球放在固定的地方从而“破坏”随机，好玩的是还有的同学通过几个数据的黄白相间规律就去推断整体是这样的。同学消失这些想法是正常，渐渐消退同学存在的误会正是教学的目标之一。而最好的方法就是让同学亲自试验，案例中老师正是运用了这一策略。

第三类：“推断”类

上面已经举过这样的例子，对于这样的活动是在课程标准修订中大力提倡的，即通过数据来进行推断。

我给大家预备了两种骰子，一种是匀称的，另一种是不匀称的，但不知道

哪种是匀称的，哪种是不匀称的。1、2、3组是一种骰子，4、5、6组是一种骰子。每个小组至少抛15次，记录下分别是几点，然后我们统计“1”

点和“6”点的次数。（1、2、3组“1”点28次，“6”点33次；

4、

5、

6组“1”点40次，“6”点2

7次）

生：1、2、3组的骰子是匀称的，4、5、6组的骰子是不匀称的。

师：他的结论你们同意吗？28和33也不一样啊？

生：差距比较小。

师：4、5、6组呢？

差距大。

师：我们就做出推断，4、5、6组的骰子可能是不匀称的。想知道谜底吗？

第四类：“运用频率估量概率”类

有的老师在课堂中创设了如下的情境：父亲和儿子打算谁去看奥运会男篮决赛。但是，与过去教学不同，使用打算是否去的工具并不是硬币，而是啤酒瓶盖。

师：举世瞩目的北京奥运会圆满地、无与伦比地结束了。去过北京，现场看奥运会的请举手。没有人，的确，就是北京当地的人也买不到奥运会的门票。我有一位伴侣，知道我当年是学校篮球队的队长，就特地帮我找了一张男子篮球决赛的门票。（出示篮球票）只有一张。我儿子也是个篮球迷。孔子说：“己所不欲，勿施于人”。怎么办呢？饭桌上，我和儿子商议 。我儿子看到桌子上有一个啤酒瓶盖，就说：“爸爸，我们抛啤酒瓶盖吧。假如正面朝上就我去，假如反面朝上就您去。”我说：“儿子，什么是正面朝上？什么是反面朝上？”（出示瓶盖正、反面图片，并标注“正——儿子、反——爸爸”）你们想一想，（板书：问题）这个方法好不好？认为好的举手。

（同学纷纷举手表示认可。）

师：为什么好？谁能说一下，你是怎么想的？

生1：我觉得是靠命运打算的，所以公正。

生2：我认为是公正的，由于儿子的机遇是二分之一，爸爸的机遇也是二分之一。

师：二分之一，就是这个瓶盖抛起来的时候，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，只有两种可能，（板书：可能性）并且抛一次的话，肯定会有一面朝上。所以说这是公正的。有没有不同的想法？

生3：我认为在现实生活中会有所争议，由于啤酒瓶盖打开过，会有肯定的折痕，