伤感文章之论哲学无限与数学无限的异同点上

论哲学无限与数学无限的异同点上摘要：众所周知，“有限无限问题”是数学的基本问题，也是哲学的基本问题。本文基于以下哲学观点开展讨论：反对唯心主义，接受辩证唯物主义，在这样的大前提下讨论“有限无限问题”。本文从哲学和数学角度全面回顾、剖析了黑格尔的辩证无限观，同时介绍了恩格斯关于无限的论述，并对数学中的实无限、潜无限观进行了分析，指出实无限观实际上是彻头彻尾的唯心主义的无限观。与此同时，作者对黑格尔的无限观和数学中的两种无限观进行了详细的分析比较，在此基础上作者提出了“辩证唯物主义无限观”：摒弃潜无限、实无限观中错误的一面，积极吸取两者正确的一面，即既要承认无限的客观存在性和可认识性、又要承认无限过程的不可完成性，这是解决数学实践中诸多矛盾的唯一正确途径。关键词：实无限；真无限；潜无限；恶无限；辩证唯物主义的无限观一、数学中“无限问题”的由来及争论（一）“无限问题”的由来我们知道，在数学史上，人们一直对“无限”有着两种截然相反的看法。一种是“潜无限”观，一种是“实无限”观。这两种无限观，把数学界分成两大对立的阵营；任何一个数学家都概莫能外超越这个矛盾而存在，它要求任何一个数学家都必须对此问题作出一个明确的回答。因此，对此问题的回答，天然地成为衡量一个数学家属于何种阵营的一个标准。那么，什么是这两种无限观的对立呢？“潜无限”观，是指我们不能够结束一个“无限过程”而到达其某一终点或其全部。反之，“实无限”观者却认为我们可以完成一个“无限过程”而到达它的终点或其“全部”。因此“潜无限”、“实无限”之矛盾，本质在于能不能“完成、终结”一个“无限过程”。它们的矛盾和对立是不言而喻的。对于这两种无限观的区别，在《数学与无穷观的逻辑基础》一书中，朱梧槚先生从数学、哲学上给出了详细的分析。他在书中指出：“实无限”是由现在进行式（going）转化为完成式（gone）,而“潜无限”是由现在进行式（going）强化为永远是现在进行式（going）；而无论是潜无限还是实无限，都是非有限进程。他从数学、哲学两个方面把两者的差别描述如下（参见朱梧槚，2008年，第204-207页）：实无限：是一个完成式（gone），对于“无限进程”肯定达到进程终极处，对无限进程的枚举手续肯定能完成；潜无限：是一个进行式（going），对于“无限进程”否定达到进程终极处，对无限进程的枚举手续肯定不能完成。（二）历史上数学家、哲学家对“实无限”观的质疑和朴素否定历史上亚里士多德（aristotle）是第一个明确地只承认潜无限而反对实无限的学者，而柏拉图（pla.to）则是第一个承认实无限而反对潜无限的学者。毫无疑问，集合论创始人康托（cantor）是“实无限”的捍卫者。亚里士多德这样描述他对无限的认识，“因为分害0过程永远不会告终（going）；这个事实保证了这种活动存在的潜在性，但并不能保证无限独立地存在”，他又指出，“空间和时间是可以无限地划分的（going），但并没有被无限地划分开来”。（参见朱梧槚，2008年，第203页）伟大的数学天才高斯（gauss）明确反对“實无限”。他在给舒马赫（heiichschumacher）的信件中以十分坚决的口气表明了他的见解：“我反对把无穷量当作一种完成的实体来使用，这在数学中是绝对不允许的，无穷不过是谈及极限时的一种说话方式而已。”伟大的法国数学家、天体力学家、科学哲学家彭加勒（heipoincare）先生也明确反对“实无限”。在他所著《科学与方法》一书中，他指出：“不存在实（给定的完备的）无穷。康托尔主义者忘记了这一点，他们陷入了矛盾之中。像康托尔主义者一样，罗素也忘记了这一点，而且碰到了同样的困难。但是，问题是要知道，他们是偶然地走上这条道路呢，还是受到必然性的驱使呢。在我看来，该问题是无可怀疑的；在罗素的逻辑中，对于实无穷的确信是基本的东西。正是这一点，把它与希尔伯特的逻辑区分开来。”（参见彭加勒，2008年，第148页）。彭加勒先生对康托（cantor）、罗素的思想进行了深刻的剖析。以布劳威尔（brouwer）为代表的直觉主义派是“实无限”的坚决反对者，他们认为只有“潜无限”而没有客观存在的真实的无限。以希尔伯特（hilbert）为代表的形式主义派，承认“无限”的实在性，是典型的“实无限观”的拥护者，但是在具体的应用中又坚持“有限主义原则”，因此又是一个“潜无限”论者。这充分说明希尔伯特在“无限问题”上的矛盾性。他在一次著名的演讲中讲到：“没有任何问题能象无限那样，从来就深深地触动着人们的情感；没有任何观念能象无限那样，曾如此卓有成效地激励着人的理智；也没有任何概念能象无限那样，是如此迫切地需要予以澄清”（参见朱梧槚，1987年，第296页），可见他对“无限”的研究有着无比的热爱和期待。朱梧槚先生更是生动地称之为“幕前的实无限论者”和幕后的“有穷主义者”（参见朱梧槚，2008年，第146页）。以罗素（russell）为代表的逻辑主义派，认为能把全部数学化归为逻辑，承认“实无限”观下的无限集理论，确认“实无限”性研究对象在数学领域中的合理性。因此，就无穷观而言，他们是典型的“实无限观”论者（参见朱梧槚，1987年，第271页）。普遍认为，罗素及其追随者明显地承认无限性对象的存在性，但由于罗素为排除集合论中的悖论而发展他的分支类型论，因而在罗素系统中的“实无限性对象”就在不同的类和级中表现为一定的层次结