高中数学圆锥曲线135个性质结论汇总归纳

33目 录一、几个统一定义（）（1）2）3）1（）2（）3（））1（）2（23（）4（）5（）八、数量积定值问题9044椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆备用课件定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线备用课件问题探究1PA(x)2y24B(，则线段QB的垂直平分线与直线QAPtMQ，直线lM，与直线QAPP55椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线备用课件问题探究2，定直线xN在直线N且与垂直的直线l2PAPN足 ，讨点P的迹PAPN66椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）实验成果动态课件椭圆上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线备用课件双曲线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线备用课件抛物线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线备用课件问题探究3已知两定点

，动点P满足条件

PAPB8

，另一动点 Q 满足Q0Q0, PPAPPAP77椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质 实验成果动态课件实验成果动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆备用课件焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆备用课件焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）备用课件问题探究4已知两定点A(2,0),B(2,0)，动点P满足条件PA

PB2，动点Q满足QB(PAPB)0，QP(PAPB)0，求动点Q的轨迹方程.

PA PBPA PB88椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质实验成果动态课件椭圆中以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内切）备用课件双曲线中以焦半径为直径的圆必与（外切）备用课件抛物线中以焦半径为直径的圆必与）备用课件问题探究52Px2

2y1上，F0，探究2y

4 32Px2

2y1上，F0，探究2y4 3996．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离备用课件问题探究6过抛物线x24y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PAPB0.P（1使得AB(P)20.10107．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质实验成果动态课件椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆备用课件双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)备用课件抛物线中焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的抛物线问题探究722Pxy224 3方程.

1上，F1,F2为椭圆之左右焦点，点G为△F1PF2的内心，试求点G的轨迹2Px24否过定点，并证明之.

3

1上，F1,F2为双曲线之左右焦点，圆G是△F1PF2的内切圆，探究圆G是1111椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（1）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数1 1 2|| || ep备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数在同支 1 1 2|| || ep在异支| 1 1 2|| || ep备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数1 1 2|AF| |BF| ep备用课件问题探究8x2 y2已知椭圆 4

1，F1为椭圆之左焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，是否存在实常数，使ABFAFB恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.（借用柯西不等式）1212椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（2）实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数1 1 2e2|| |CD| 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数1 1 |2e2||| |CD| 备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数1 1 2e2|| |CD| 备用课件问题探究9x2 y2已知圆 4

111的直线1,2ABCD12，

ABCD1313椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（3）实验成果动态课件设椭圆焦点弦ABDFAB（F）备用课件设双曲线焦点弦ABD与∣AB）设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴交于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F）问题探究10x2 y2已知圆 4

1A，BABxD，ABABF1D

恒成立？14141（中点共线）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件问题探究11x2 y2已知圆 4

1的直线两点，直线l2xx轴于GDD1点G，点A,B在直线l2上的射影分别是N,GDD115152（三点共线）实验成果动态课件ABDNNC、BMCA备用课件ABDNM，则NC、BM、CAABDNM，则NC、BM、CAD备用课件问题探究12x2 y2已知圆 4

1的直线A，B

C,D分别为椭圆的左、右顶点，动点P满足PAAD,PCCB,试探究点P的轨迹.16163（对焦点直张角）实验成果动态课件ABD连线与相应准线的交点N、M，则NF1MF1备用课件ABDNM，则NF1MF1备用课件ABDNM，D）问题探究13x2已知双曲线3

1

1的直线

C,D分别为双曲P动点Q满足AC,QB2试探究1717椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线（双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件问题探究14x2 y2已知圆 4

的直线l1l2l2：xAD交直线l2、、B1818椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分AF2C备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF1C备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AFD备用课件问题探究15x2 y2已知圆 4

的直线l1l2l3：xAD交直线l3，试证明A.1919椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广实验成果动态课件t,0a2直线xt备用课件t,0a2定直线xt备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N（t,0x备用课件问题探究16x2y2已知椭圆8 4

1N的直线l1l2A，BC，DADCBPPx4.2020实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值.备用课件问题探究17x2 y2已知圆 8

1的直线A，BABy轴于点M，MAAF1,MBBF1,试求的值.2121椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值实验成果动态课件AAB B 1e2m1m221e2定值过双曲线上任点A作两焦点的焦点弦 B 1e2m1m221e2定值（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即PA=m1AFPB=m2BF备用课件m1+m2=0问题探究182已知方向向量为e3的直线l3和椭圆C:x2a2

y21a C的2 b2 b 中心OBe,

AO.⑴求椭圆C的方程；⑵设E为椭圆C上任一点，过焦点F1,F2的弦分别为ES,ET,设EF11F1S,EF22F2T，求12的值.2222椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一实验成果动态课件t,0）NT＝TM备用课件T（t,0）的两条弦端点的直线截过T点的垂线段相等NT＝TM备用课件T（t,0）的两条弦端点的直线截过T点的垂线段相等NT＝TM备用课件问题探究19x2y2已知椭圆8 4

1，过点T(1,0)的直线l1,l2分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，设直线l3过点T且l3x轴，交l1,l2于点N，M，试证明∣TN∣=∣TM∣.2323椭圆、双曲线、抛物线的相交蝴蝶定理二实验成果动态课件过椭圆短轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ备用课件t,0两条弦端点作两条直线,一定截过N点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ备用课件M（t,0的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ备用课件问题探究20x2y2已知椭圆8 4

1，过点T(0,1)的直线l1,l2分别交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点和C(x3,y3),D(x4,y4)两点，设直线l3T且轴，交l1l2N，My2y4.2424实验成果动态课件椭圆中心O实验成果动态课件椭圆中心OP(x0,y0N，交切点弦于点 Q，则||||2.且Q点平分切点弦无点P在线么位上结论均成立）.且点 P 与直xy1PO双曲线中心OP(x0y0线于NQ，则||||2.且Q点平分切点弦无点P在线么位上结论均成立）.且点 P 与直Ax0xBy0y1沿直线PO作反向运动(直线保持平行).备用课件P称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N，交切点弦于点Q|OQ||OPON|2Q P）.且点Pyp(x作反向运动(直线保持平行).备用课件问题探究21 x2 已知椭圆8 4

1，过原点，点T)的直线lT分12别作切线llP，求证：||||2.1225252（2）实验成果动态课件Ax2By21外一点PC、D椭圆切点弦xy1的交点为112成立.PC |PD| |PQ|反之亦然.备用课件Ax2By21外一点P的任与双曲线切点弦xy1的交为Q，则1 1 2PC |PD| |PQ|成立.反之亦然.备用课件PC、切点弦的交点为Q，则1 1 2 成立.反之亦PC |PD| |PQ|然.备用课件问题探究22yx2P(2PA，PBA，B，另一直线lPPQPC、DABQPQPC

PQ|PDPQ

的值是否为定值.2626实验成果动态课件Ax2By2实验成果动态课件Ax2By21外一点P、DQ直线上另一点，且满足CPCQQxy1Ax2By21外一点P、DCPCQQxy1P、DQCPCQ，则Q问题探究23x2y2已知椭圆8 4

1，过点T(1,0)的直线l1，l2分别交椭圆于两点C、D，点Q在直线l上，且满足CPQD

PDQ27274（）实验成果动态课件Ax2By21中心与椭圆外一点的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦xy1Ax2By21中心与双曲线外一点的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的xy1物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦.备用课件问题探究24yx2P(2，另一直线lx2BQ）NAB（）QB.28285（）实验成果动态课件点TAx2By21外一点PTTAx2By21P的切点弦对应的直线上的动点，则与点TTy22pxP的切T对Q.（PQ备用课件问题探究25yx2外一点Q,)B（Q为ABP，PBPP作直线l，且lAB，点G是直线lGGC、GDCD2929椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一实验成果动态课件椭圆准线与长轴的交点与焦半径端点连线所成角被长轴平分备用课件双曲线准线与实轴的交点与焦半径端点连线所成角被实轴平分备用课件抛物线准线与对称轴的交点与焦半径端点连线所成角被对称轴平分备用课件问题探究26x2 y2已知圆 8

1的直线x在一点P，使得斜率kPAkPB0.3030椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二实验成果动态课件N（t,0）a2端点与对应点( ,0)的连线所成角被焦点t所在直线平分.备用课件t,0）a2的一条弦端点与对应点( ,0)的连线所成t角被焦点所在直线平分.备用课件N（t,0）a2条弦端点与对应点( ,0)的连线所成角被t对称轴平分备用课件

x2y23 1

1N(t点的直线A，BxP率kPAkPB0.3131椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线实验成果动态课件Q(T,0A，B两AxAA’，a2BP( 0t备用课件Q(T,0A，BAxAa2A’，B，P( 0t备用课件P(T,0A，B两AxAA’，B，P’(-t,0备用课件问题探究28y24xlF(t0M(xxE，试探究：EF与EMEN的夹角是否为定值.3232椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质实验成果动态课件过椭圆外一点作椭圆的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过双曲线外一点作双曲线的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过抛物线外一点作抛物线的两切线与焦点（另一焦点在无穷远处）连线所成的角相等.备用课件问题探究29过点P(,)x24yA，F为焦点，研究斜率kFkA.3333椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质实验成果动态课件过椭圆上一定点作倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过双曲线上一定点作倾角互补的两直线与双曲线的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过抛物线上一定点作倾角互补的两直线与抛物线的另两交点的连线的倾角为定值备用课件问题探究30过点P(1,2)作抛物线y24x的直线PA、PB，且斜率kPB+kPA0.AB..3434圆、椭圆、双曲线弦中点与中心性质实验成果动态课件圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积为定值KPAKPB1备用课件椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值b2KPAKPBa2备用课件双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值b2KPAKPBa2备用课件问题探究31x2 y2已知圆 8

1ABM，试研究斜率kABkOM（O）.3535（中点弦的极限状态）实验成果动态课件圆切线与半径的斜率积为定值KPOKL1备用课件椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值b2KPOKLa2备用课件双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值b2KPOKLa2备用课件问题探究3222Pxy228 4

1P的切线斜率为k，试研究斜率kOPk（O）.3636椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质实验成果动态课件ABMQ必（AB备用课件ABMQ（AB）备用课件AB（AB轴）备用课件问题探究33x2 y2已知圆 8

1ABxP(x00x0椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹实验成果动态课件椭圆的定向弦AB的中点轨迹为过椭圆中心的线段.备用课件双曲线的定向弦AB的中点轨迹为过双曲线中心的直线.备用课件抛物线的定向弦AB的中点轨迹为平行于抛物线对称轴的射线.备用课件37问题探究34373838椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹实验成果动态课件椭圆的定点弦AB的中点轨迹为原椭圆内的椭圆弧备用课件双曲线的定点弦AB的中点轨迹为双曲线备用课件抛物线的定点弦AB的中点轨迹为抛物线.备用课件问题探究35P(x0y0A,BAB3939椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值实验成果动态课件在圆锥曲线焦点所在直线上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量点积为定值．且在椭圆、双曲线情形下定点坐标c(3e2)为( ,0).2（ce c2 2 4CACB ee4备用课件在抛物线y22px情形下定点C恰为顶点 3p2CACB4备用课件问题探究36x2y2 已知椭圆4 3

10A、BPPAPB.4040椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值实验成果动态课件Ac2 e2一定点Q( )n,0)，2n 2它与AB弦端点所张的向量点积为定值．备用课件（ce）Ac2 e2Q( )n0AB2n 2弦端点所张的向量点积为定值．备用课件（ce）过抛物线y22px对称轴直AC为顶点 3p2CACB4备用课件问题探究37x2y2 已知椭圆4 1

1，直线过点0、BP使QAQB.4141圆锥曲面光线反射路径的性质实验成果动态课件由焦点发出的光线经椭圆曲面反射后的光线必过另一焦点备用课件由焦点发出的光线经双曲面反射后的光线所在直线必过另一焦点备用课件由焦点发出的光线经抛物面反射后的光线必过另一焦点（另一焦点在无穷远处，故反射光线会平行于对称轴）备用课件问题探究38要测试一只音响的声音效果，请你设计出一个测试房间，使测试效果尽可能准确.4242实验成果动态课件实验成果动态课件过椭圆外一定点与切点连线的中点的任一直线交椭圆于两点,这两点分别与定点的连线交椭圆于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等备用课件过双曲线外一定点与切点连线的中点的任一直线交双曲线于两点,这两点分别与定点的连线交双曲线于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等备用课件过抛物线外一定点与切点连线的中点的任一直线交抛物线于两点,这两点分别与定点的连线交抛物线于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等备用课件问题探究391yx2HPHMP的直线l交曲线于,DMD的直线l2交曲线于CPC的直线3BBH).14343实验成果动态课件以直角为定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点实验成果动态课件以直角为定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨迹上,且当直角顶点在椭圆上运动时,其对应的定点在一新的椭圆上运动.备用课件以直角为定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨迹上,且当直角顶点在双曲线上运动时,其对应的定点在一新的双曲线上运动.备用课件以直角为定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨迹上,且当直角顶点在抛物线上运动时,其对应的定点在一新的抛物线上运动.备用课件问题探究40y2x，A,BPA0.QAB444490实验成果动态课件直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点椭圆上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆备用课件直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在双曲线上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆备用课件问题探究41(2009E

2 22yx 1（A,B>0）M（2，2yxa2 b2

），N(

,1)两点，O为坐标原点，6EA,B,且|AB|.62（2009已知双曲线C:x2a2（Ⅰ）求双曲线C的方程；

y23 b2 3

，右准线方程为x3330 0 0（Ⅱ）设直线l是圆O:x2y22上动点P(x,y)(xy0 0 0A,B，证明AOB的大小为定值.4545圆、椭圆、双曲线直径性质动点对直径端点的斜率积为定值实验成果动态课件圆上动点对直径端点的斜率积为定值KPAKPB1备用课件椭圆上动点对直径端点的斜率积为定值b2KPAKPBa2备用课件双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值b2KPAKPBa2备用课件问题探究42PPA，PB的斜率k

PAkPB

1P24646椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶实验成果动态课件x2 y2椭圆 1中垂直于长轴的弦的端a2 b2点对长轴顶点的连线的交点轨迹为与椭x2 y2圆共点双线 1.a2 b2备用课件x2 y2双曲线 1中垂直于长轴的弦的a