二次函数y=ax^2的图象和性质

22.1.2

二次函数y=ax2的图象和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______.2.对称性图象关于__轴对称.抛物线y3.开口方向当a>0时,抛物线的开口向___;当a<0时,抛物线的开口向___.4.顶点抛物线y=ax2的顶点是_________.当a>0时,顶点是抛物线的最___点;当a<0时,顶点是抛物线的最___点.5.开口大小|a|越大,抛物线的开口越___.上下坐标原点低高小6.增减性(1)a>0,当x>0时,y随x的增大而_____,当x<0时,y随x的增大而_____.(2)a<0,当x>0时,y随x的增大而_____,当x<0时,y随x的增大而_____.增大减小减小增大【思维诊断】(打“√”或“×”)1.抛物线y=2x2的开口比抛物线y=-x2的开口大.()2.抛物线y=(-2x)2的开口向上.()3.抛物线y=ax2(a≠0)上,若两个点的纵坐标相同,那么这两个点的横坐标互为相反数.()4.分别在抛物线y=2x2与y=-2x2上的两个点,若横坐标相同,那么这两个点的纵坐标也相同.()5.抛物线y=-5x2的最低点的坐标是(0,0).()×√√××知识点一二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质【示范题1】已知y=(k+2)是二次函数,且当x>0时,y随x的增大而增大,求k的值.【思路点拨】根据二次函数的定义,自变量的最高次数是2,再根据二次函数的增减性,确定y=ax2中a的正负,从而确定题目中k的取值范围,最后确定k的值.【自主解答】因为y=(k+2)是二次函数,所以k2+k-4=2,解得k=-3或k=2;又因为当x>0时,y随x的增大而增大,所以k+2>0,即k>-2,所以k=2.【想一想】已知函数y=(k2+k)是二次函数,它的图象开口方向如何?提示:函数y=(k2+k)是二次函数,所以k2-2k-1=2,即k=3或k=-1;当k=3时,k2+k=12>0,当k=-1时,k2+k=0(舍去),所以它的图象开口向上.【微点拨】1.抛物线y=ax2的图象和性质主要从以下几个方面记忆:(1)开口方向.(2)顶点坐标.(3)对称性.(4)增减性.2.顶点坐标是原点,对称轴是y轴的抛物线的关系式形式为y=ax2.3.抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2关于x轴对称,关于原点成中心对称.【方法一点通】二次函数y=ax2的“两关系四对等”1.a>0⇔开口向上⇔有最小值⇔2.a<0⇔开口向下⇔有最大值⇔x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小.x＞0时，y随x的增大而减小，x＜0时，y随x的增大而增大.知识点二求二次函数y=ax2(a≠0)的解析式【示范题2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为

m.【解题探究】(1)建立坐标系一般选哪一点为坐标原点?提示:一般以抛物线的顶点为坐标原点,本题中应以点C为坐标原点建立坐标系.(2)相应的解析式是哪一种形式?如何确定这个解析式?提示:抛物线的解析式为y=ax2,把点B的坐标(18,-9)代入解析式,确定a的值.【尝试解答】以顶点C为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设抛物线为y=ax2,由题意得B(18,-9),把B(18,-9)代入y=ax2,得a×182=-9,解得a=-.所以抛物线的解析式为y=-x2,当y=-9-7=-16时,-16=-x2,解得x=±24,∴DE=48m.答案:48【想一想】在同一坐标系内,抛物线y=3x2和抛物线y=-3x2的位置有什么关系?提示:抛物线y=3x2在x轴的上方,开口向上,抛物线y=-3x2在x轴的下方,开口向下,且抛物线y=3x2和抛物线y=-3x2关于x轴对称.【方法一点通】解二次函数y=ax2应用题的“三个步骤”1.审题建模: