二次函数的图像与性质

1.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax²（a＞0）的图象和性质想一想:我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？画二次函数 的图象．列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，列成下表：x－3－2.5－2－1－0.500.5122.534.53.12520.50.12500.1250.523.1254.5探究xyo1234－1－2－3－412345描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图连线：观察和分析：从图（1）看出，点A和点A'，点B和点B'，……，它们有什么关系？点A和点A'关于y轴对称，点B和点B'也是……由此你能作出什么猜测？我猜测 的图象关于y轴对称．从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？纵坐标随着增大的图象在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗？我猜想都有这一性质．可以证明上述两个猜测都是正确的，即

的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了的图象．如图xyo1234－1－2－3－412345我们已经正确画出了

的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出

的其他一些性质（除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外）：观察图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称为“左降”；对称轴与图象的交点是____________；图象的开了向____；O(0,0)上减小当x=___________时，函数值最____________．0小类似地，当a>0时， 的图象也具有上述性质，于是我们在画 的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）．画二次函数 的图象．解，列表：x00.511.52300.2512.2549例1xyo1234－1－2－3－46284描点和连线：画出图象在y轴右边的部分，如图利用对称性，画出图像在y轴左边的部分，这样我们得到了 的图象，如图也可以这样做练习y轴上方<0>0（0,0）向上1、二次函数y=πx²的顶点坐标是_______，对称轴是

，图像在y轴的

（顶点除外），开口方向向

，当x

时，y随着x的增大而减小，当x

时，y随着x的增大而增大.xyo2、在坐标系中画出二次函数 的图象．x00.51200.528描点连线列表开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2(a>0)（0，0）y轴在x轴的上方(除顶点外)向上当x=0时,最小值为0.在对称轴的左侧,

y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

a越大,开口越小.归纳小结1.2二次函数的图象和性质第2课时二次函数y=ax²（＜0）的图象和性质我们已经画出了 的图象，能不能从它得出二次函数 的图象呢？探究xOy24－2－424－2－4PQ1.在 的图象上任取一点P（ ），它关于x轴的对称点Q的坐标是（）2.点Q的坐标是否在图象上？x轴4.你怎样得到的图象？在因此只要把 的图象沿着x轴翻折将图象“复印”下来，就得到 的图象，3.由此可知， 的图象与 的图象关于

对称

我们已经正确地画出了

的图象，因此现在可以从图象看出

的性质：观察对称轴是__________，对称轴与图象的交点是____________;图像的开口向___________；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而____________，简称为右______________;图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而____________，简称为左______________;当x=__________时，函数值最_____________.y轴下O（0，0）减小降增大升0大当a<0时，的图象也具有上述性质，于是今后画的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.画二次函数 的图象.x012340－1－4描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.利用对称性画出y轴左边的部分.例2解列表：xOy－2－424－2－4这样我们得到了 的图象，如图观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线xOy－2－424－2－4一般地，二次函数的图象叫做抛物线

以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向水平向右，y轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为的图象的一段，由此受到启发，我们引进下述概念：

二次函数的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

抛物线的顶点是原点.抽象xOy－2－424－2－41、画出二次函数的图象.练习x11.52－14xOy－2－424－2－4描点、连线画图象右半部分.将右半部分翻折得到左半部分.2、二次函数的性质有：（3）抛物线在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而_______；在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而

；y轴O(0,0)下减小增大（1）对称轴是

，顶点是

；（2）开口向