第1课时线段的垂直平分线的性质与判定

线段垂直平分线的性质拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′，FB和FB′的关系.BB′EFEFB(B′)折痕EB=EB′，FB=FB′上面的结论是比较直观和明显的，我们可以说出两组边分别是相等的，但是，我们可以用观察的方法说服别人吗？在数学中，光靠观察是不够的，还需要理性的证明.线段垂直平分线的性质如何证明这个结论呢？已知：如图所示，直线MN⊥AB，垂足是C，并且AC=BC，P是MN上任一点.求证：PA=PB.ABCNPM证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.又∵AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.线段垂直平分线的性质由证明过程可以看出，两组对应线段分别相等，那么这个事实的几何意义是什么？三角形两条边对应相等意味着线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质ABCNPM线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理中说线段垂直平分线上的任一点到线段两个端点的距离相等，但是在证明过程中，只是随机选了一种情况来证明，这并不影响定理的正确性，因为所选的点是任意的.你还记得上节课学过的关于互逆命题和互逆定理的知识吗？线段垂直平分线的判定逆命题定义：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.逆定理定义：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.线段垂直平分线的判定你能说说自己收集到的数学上的互逆命题和互逆定理吗？线段垂直平分线的判定如果命题不是“如果……那么……”的形式，怎么找出它的逆命题呢？运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.线段垂直平分线的判定定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.BCOA证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO垂直平分线段BC（两点确定一条直线）.线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定课下作业：收集生活中应用线段的垂直平分线的例子，体会线段垂直平分线的判定定理的应用.用尺规作线段的垂直平分线欣赏用尺规作线段的垂直平分线中国篇俗话说：“不以规矩，不成方圆”，究竟什么是“规”，什么是“矩”？

“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.

矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.

用尺规作线段的垂直平分线国际篇古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规、矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.

古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被处以死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.用尺规作线段的垂直平分线几何三大难题：（1）三等分角问题：将任一个给定的角三等分；

（2）立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍；

（3）化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等.用尺规作线段的垂直平分线基本作图：作线段的垂直平分线.已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.作法：（1）分别以A，B为圆心，以大于AB