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文档简介

空间向量及其运算第一章1.1.2空间向量的数量积运算教学目标1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象)2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算)3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算)复习回顾问题

（1）空间中共线向量的定理是什么？（2）共面向量基本定理于是什么？（3）四点共面的充要条件是什么？

新课导入导平面向量及其线性运算空间向量及线性运算推广平面向量数量积运算空间向量数量积运算推广类比与转化思探究：类比平面向量的数量积运算，将平面向量数量积推广到空间数量积的运算问题

回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？定义夹角数量积定义运算律运用思问题

什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量的夹角得出空间向量的夹角定义？

B

A向量是可以平移的平面向量的夹角

两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做＝a

，

＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π.如果〈a，b〉＝

，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.ba.OαAB空间向量的夹角

两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做＝a

，

＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π.如果〈a，b〉＝

，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.ba.OαAB

两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

思考

平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？空间两个向量的数量积性质注：性质②是证明两向量垂直的依据；性质③是求向量的长度（模）的依据.问题:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影向量baABA1DCB1ba.ONMM1

＝|a|cos〈a,b〉作法1作法2追问：在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？AB(1)(2)(3)问：类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b),λ∈R交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c平面向量数量积的运算律：空间向量？同样满足上述运算律！AOBC分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明abcC’ABCO

题型三用数量积求角度

总结跟踪训练

探究

利用数量积求距离或长度例

如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.【练习1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求

【解】

（1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？（2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？（3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？

课堂小练BAB

回顾本节课的学习过程，你学到了什么？1数量积运算解决立体几何问题(1)求空间中两点间的距离或线段长度：求对应的向量的模

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