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文档简介

1/1均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法byzhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是nnGA≥:一些大家都知道的条件我就不写了

n

nn

xxxn

xxx2121≥

+++

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

8444844)(:

4422)(abcdefgh

efghabcdhgfedcbaabcd

abcd

cdabdcbadcba≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时：

这样的步骤重复n次之后将会得到

n

nn

xxxxxxn

2

221221(2)

...≥

+++

令An

xxxxxxxxxxn

nnnnn

=+++=

=====++;,...,2122111

由这个不等式有

n

n

n

n

nnn

nnn

A

xxxA

xxxA

nnAA2

121

212

221)..(..2

)2(-

-=≥

-+=

即得到

n

nn

xxxn

xxx2121≥

+++

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

1

1

12101(1,2,...,)11(...)n

iii

n

nn

ainaaaa=≤≤==

=

=

=

++≥--∑∑∑∑∑∏

已知个实数都记，求证下述不等式成立：

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

其实由均值不等式，以及函数1ln1

x

x

efxe+=-是在R上单调递减

因此

1(

)1

n

RSTUVRSTUVRSTUV≥

=

+≤

-

我们要证明：

1

1

1

n

iiiiiiiii

i

i

rstuvrstuv

=+≥

-∏证明以下引理：

1

1

1

n

n

iii

xx

=+≥-∏

2

12122

121212122

12121212121212122

12122112(

)1

1

(1)(1)

2(1)(1)(1)2(1)

(1)(1)2(1)11(

)(

)

1

1

iixxnxxAAxxxxxxxxAxxxxAxxxxxxxxAxxxxAxxAxxxGxG++=?≥--=

?+++++++-+++≥+--++--++--?++≥+++?--时，令明显成立

因

此22

2

21

2

2

1

1(

)1

1(

)

1

1(

)1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nin

n

n

iiiGGGGG

GGxx==+≥=

-+=-+≥-∏∏，因此

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力非常强大，用同样方法可以证明Jensen:

)2

(

2

)

(2

121xxfxfxf+≥+，则四维：

)4

(

4)2

(

2)2

(

2)(4

3214

32

14321xxxxfxxfxxfxfxfxfxf+++≥+++≥+++

始终进行n次有

)2

...(

2

)

(...)(221221n

n

n

nxxxfxfxfxf+++≥+++,

令An

xxxxxxxxxxn

nnnnn

=+++=

=====++;,...,2122111

有

)2

)2((

2

)

2(...)(1AfA

nnAfAfnxfxfn

n

n

n

n=-+≥-+++

所以得到

)...(

)

(...)(2121n

xxxfn

xfxfxfn

n+++≥+++

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