第07章微分方程7 4一阶线性

Lineardifferentialequationoffirstorder§7.4一阶线性微分方程高等数学安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959一、线性方程二、伯努利方程§7.4一阶线性微分方程一、线性方程1.1、定义1.2、线性齐次方程解法1.3、线性非齐次方程解法二、伯努利方程2.1、伯努利生平及成就2.3、伯努利方程的解法三、小结1、齐次方程2、线性非齐次方程3、伯努利方程思考题求微分方程的通解.作业P3151⑹；2⑷；3；7⑵。2.2、标准形式1.1、定义

如果微分方程中未知函数及其导数均是一次的称为线性微分方程，简称为线性方程。一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的。上方程称为非齐次的。例如线性的；非线性的。一、线性方程1.2、线性齐次方程的解法(使用分离变量法)将原方程化为分离变量，得：两边积分得：齐次方程的通解为——公式一、线性方程例1.

求通解解：012=+-xydxdy故得通解为：一、线性方程1.3、线性非齐次方程解法⑴讨论首先比较与齐次方程可以看出:等式左边一模一样,右边一为0,一为Q(x).后者通解为：有理由猜想前者解为即C不再是常数，而可能是某个函数C(x)，因此可用待定函数法求其通解ò-=dxxPexCy)()(一、线性方程把齐次方程通解中的C换成x的未知函数C(x),即(C(x)为待定函数)⑴常数变易法验证:将代入中先求出同时代入方程两边，得：ò-ò--=dxxPdxxPexCxPexCy)()()()()(´´)()()()()()(

)()()(xQexCxPexCxPexCdxxPdxxPdxxP=+-ò-ò-ò-)()(')(xQexCdxxP=Þò-ò=ÞdxxPexQxC)()()(´积分得：故得原方程的通解为ò+=ÞòCdxexQxCdxxP)()()(])([)()(ò+=òò-CdxexQeydxxPdxxP一、线性方程④写出原方程的通解.对应齐次方程为①求出对应的齐次方程的通解②将该通解中的任意常数C变易为函数C(x);③代入原方程确定C(x);即设为原方程的解;⑵常数变易法步骤)()(xQyxPdxdy=+0.)(=+yxPdxdy一、线性方程解

将原方程化为标准方程例2.

用常数变易法及公式法分别求写方程的通解.2y

+2xy-xe-x=02y

+2xy=xe-x⑴常数变易法原方程对应的齐次方程为y

+2xy=0其通解为22xxdxCeCey-ò-==由常数变易法，设原方程的解为2)(xexCy-=两边求导,得：22xx2xC(x)ey=C

(x)e---将y、y

代入原方程,得：2222)(2)(2)(´xxxxxeexxCexxCexC----=+-CxxCxxC+=Þ=Þ221)()('故通解为)21(22Cxeyx+=-一、线性方程⑵公式法原方程为：2y

+2xy=xe-x2)(,2)(xxexQxxP-==代入公式,得：])([)()(ò+=òò-CdxexQeydxxPdxxP][222ò+=ò-ò-Cdxexeexdxxxdx][222ò+=--Cdxexeexxx]21[22Cxex+=-一、线性方程例3、求微分方程的通解。先观察什么型的？解：原方程化为标准型：一阶线性非齐次方程212xexxyy

-=+21)(,2)(xexxQxxP-==代入公式,得：])([)()(ò+=òò-CdxexQeydxxPdxxP]1[222ò+ò=--Cdxeexexdxxx]1[222ò+=--Cdxeexexxx][ln2Cxex+=-一、线性方程yyxydydxcos22=-例4、求方程(2x+y3cosy)dy-ydx=0的通解。解：先将原方程化为正规型yyxydxdycos23+=分析:不是分离变量?不是齐次方程?不是线性方程?将上式改写为代入通解公式,即得：这是以y为自变量,以x为未知函数的一阶线性齐次方程.其中yyyQyyPcos)(,2)(2=-=一、线性方程例5、求方程(y2-6x)dy-2ydx=0的通解。解：先将原方程化为正规型将上式改写为(同上例)xyydxdy622-=xyyyxydydx32262-=-=23yxydydx=+即2)(,3)(yyQyyP==)101(]2[5333CyyCdyeyedyydyy+=+=-òò-ò一、线性方程例6、已知连续函数f(x)满足关系式求f(x).解：求导得ò+=xxdt.tfexf0)()()()(´xfexfx+=xexfxf´=-Þ)()(记f(x)=y,有y

-y=ex,其中P(x)=-1,Q(x)=ex即][)1()1(ò+=ò-ò--Cdxeee∴ydxxdx][ò+=-Cdxeeexxx][Cxex+=][Cxeyx+=由原方程,得：代入通解,得：即C=1故]1[)(+=xexfx]0[10Ce+=1)()0(000=+=òdttfef即为所求。一、线性方程解：例7、求xy

+y=sinx在下的特解。0)2(=pf原方程化为y

+xxyxsin11=一阶线性非齐次方程x.xxQxxPsin1)(,1)(==xxycos-=]sin[11Cdxexxeydxxdxx+òò=\ò-]sin[lnlnCdxexxexx+=ò-]sin[1Cxdxx+=ò]cos[1Cxx+-=代入初始条件0)2(=pf得：∴C=0故所求解为：一、线性方程(高阶微分方程,可看作未知函数y

的一阶线性微分方程)解：将原方程改写为例8、求微分方程的通解。xy

xy

=

-1x(y

)x(y

)

=-1xxQxxP=-=)(,1)(其中][1)1()1(Cdxexey״dxxdxx+òò=\---ò][lnlnC1dxexexx+=-ò对以上结果两边积分,得：再积分一次,得：此即为原方程的通解.一、线性方程

伯努利,D.(DanielBernoulli1700～1782)瑞士物理学家、数学家、医学家。1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。1721年取得医学硕士学位。努利在25岁时(1725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授。

在1725～1749年间.伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。二、伯努利方程2.1、伯努利生平及成就⑴伯努利生平简介⑵科学成就伯努利的贡献涉及到医学、力学、数学等各个方面。①在物理学上的贡献有：a)1938年出版了《流体动力学》一书，共13章。这是他最重要的著作。书中用能量守恒定律解决流体的流动问题，写出了流体动力学的基本方程，后人称之为“伯努利方程”，提出了“流速增加、压强降低”的伯努利原理。b)他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应，建立了分子运动理论和热学的基本概念，并指出了压强和分子运动随温度增高而加强的事实。c)从1728年起,他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力学问题,包括这些物体的平衡曲线,还研究了弦和空气柱的振动d)他曾因天文测量、地球引力、潮汐、磁学、洋流、船体航行的稳定、土星和木星的不规则运动和振动理论等成果而获奖。二、伯努利方程②在数学方面，有关微积分、微分方程和概率论等，他也做了大量而重要的工作。伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.2.2、伯努利方程的标准形式

方程为非线性微分方程即Bernoulli方程.二、伯努利方程求出通解后，将代入即得代入上式解法:需经过变量代换化为线性微分方程.2.3、伯努利方程的解法二、伯努利方程解例9二、伯努利方程例10

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为二、伯努利方程解分离变量法得所求通解为二、伯努利方程解代入原式分离变量法得所求通解为另解二、伯努利方程1、若则f(x)=__________

2、设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程求f(t).解释:1、利用微分法消去可变上限积分,使方程变为微分方程,再求解.解：方程两边对x求导,得：f

(x)=f(x)(2x)

=2f(x)记f(x)=y,则上式为：2,ln)2()(20+=òdttfxfxdxdyyxfetftyxtòò£+++=22224224)21()(pydxdy2=分离变量,得：dxydy2