线性代数 课件 ch01 线性方程组与矩阵

线性代数线性方程组第一章高等学校教材系列01线性方程组线性方程组线性方程组的概念设a、b不全为零，则形如Ax+By=c的方程在平面上表示一条直线，称它为变量x、y的线性方程。同样地，三个自变量x、y、z的线性方程Ax+By+Cz=d(a、b、c不全为零）表示空间的一个平面．在线性代数中，将n个自变量X1,X2，Xn和m个方程构成的方程组1线性方程组线性方程组的概念A11X1+A12X2+A1nXn=B1A22X1+A22X2+A2nXn=B2Am1X1+Am2X2+AmnXn=Bm1线性方程组线性方程组的概念称为一个线性代数方程组(linearalgebraicequations),其中AIJ表示第I个方程中的第J个自变量XJ的系数(i=1.2..m,j=1.2..n),b1.b2....bm，是已知常数，称为常数项。当常数项b1.b2..bm全为零时，方程组(1.1)中的所有项均为一次项。1线性方程组线性方程组的概念方程组（1.2)称为方程组(1.1)对应的齐次线性方程组(homogeneouslinearalgebraicequations),相应的方程组(1.1)称为非齐次线性方程组。1线性方程组线性方程组的概念1线性方程组线性方程组的概念1线性方程组非齐次线性方程组的解法设线性方程组(1.1)相容。本节介绍求解线性方程组的基本方法----高斯消元法(Gausseliminationmethod).2线性方程组非齐次线性方程组的解法2线性方程组非齐次线性方程组的解法2线性方程组非齐次线性方程组的解法2线性方程组非齐次线性方程组的解法2线性方程组非齐次线性方程组的解法2线性方程组非齐次线性方程组的解法2线性方程组齐次线性方程组的解法对于齐次线性方程组(1.2)，因为X1=0.x2=0···xn=0。总是它的一个解，故齐次线性方程组一定相容，称式(1.15)为方程组(1.2)的平凡解(trivialsolution)或零解．可以利用高斯消元法判断一个齐次线性方程组是否有非零解，存在非零解时，也可以求出它的非零解。3线性方程组齐次线性方程组的解法3线性方程组齐次线性方程组的解法3线性方程组齐次线性方程组的解法3线性方程组齐次线性方程组的解法3线性方程组齐次线性方程组的解法302矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵中的元素可以是实数、复数，也可以是矩阵、函数或其他数学符号。元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵，元素为其他对象的矩阵称为超矩阵(hypermatrix)本书在大多数情况下讨论的都是实矩阵。矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵1矩阵及其初等变换矩阵的初等变换因为线性方程组可以和它的增广矩阵一一对应，增广矩阵的每一行对应其中的一个方程，汪意到线性方程组的初等变换只涉及各自变量的系数，所以线性方程组的初等变换可以转化为矩阵，从而得到矩阵的初等变换的概念。2矩阵及其初等变换矩阵的初等变换2矩阵及其初等变换矩阵的初等变换2定义1.6（等价矩阵）设A、B是两个mxn矩阵，若A可以经有限次初等变换化为矩阵B,则称矩阵A和B等价，记为A~B。定义1.7(梯形矩阵和简化梯形矩阵）满足下列两个条件的矩阵A称为梯形矩阵：(1)A中元素全为零的行若存在，则全排在非零行的下面；(2)每个非零行的第一个非零元素（称为这一行的主元素），只能出现在上一行的主元素的右边。矩阵及其初等变换矩阵的初等变换2定理1.3任何一个MxN矩阵，都可以经过有限次行初等变换，化为简化梯形矩阵。定理1.4设A表示线性方程组(1.1)的系数矩阵，B表示它的增广矩阵，则非齐次线性方程组(1.1)有解的充要条件是R(A)=R(B)且当R(A)=R(B)n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(B)=r<n时，方程组有无穷多组解．矩阵及其初等变换矩阵的初等变换2定理1.5设A表示齐次线性方程组(1.2)的系数矩阵，则方程组(1.2)有非零解的充要条件是R(A)=r<n当R(A)=n时，方程组(1.2)只有零解。特别地，当方程组中方程的个数m小于未知量的个数n时，方程组(1.2)一定有非零解．03定理的证明定理的证明定理1.1设非齐次线性方程组(1.1)相容，当由方程组(1.1)化成的梯形方程组包含的方程个数r=n时，方程组(1.1)有唯一解．当r<n时，方程组有无穷多组解。定理1.2设齐次线性方程组(1.2)经初等变换后化成的梯形方程组含有r个方程，若r<n,则方程组(1.2)存在非零解，若r=n,则方程组(1.2)只有零解。定理的证明定理1.4设A表示线性方程组(1.1)的系数矩阵，B表示它的增广矩阵，则非齐次线性方程组(1.1)有解的充要条件是

R(A)=R(B)且当R(A)=R(B)=n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(B)=r<n时，方程组有无穷多组解。定理的证明定理1.5设A表示齐次线性方程组(1.2)的系数矩阵，则方程