线性代数 课件 ch03 矩阵代数

线性代数矩阵代数第三章高等学校教材系列矩阵代数矩阵是线性代数中的一个基本概念，在第1章中讲过，用矩阵表示线性方程组，对于高斯消元法的应用是很方便的。本章将在矩阵之间引入一些运算，用来描述相互之间有联系的一些实际问题。正是这些具有实际意义的运算，使矩阵理论的内容更加丰富、翔实，推动了线性代数在各工程领域中的应用．01矩阵的运算矩阵的运算矩阵的加法与数乘1矩阵的运算矩阵的加法与数乘两个矩阵的加法归结为它们的对应元素相加，应该注意，相加的两个矩阵应该具有相同的行数和列数。容易验证，矩阵的加法满足如下运算规则(1)结合律：A+(B+C)=(A+B)+C.(2)交换律：A+B=B+A.(3)设0表示m行n列的零矩阵，则A+O=A(4)对任意矩阵A,记A=[-a］mx，则A+(-A)=O,-A称为A的负矩阵。1矩阵的运算矩阵的加法与数乘1矩阵的运算矩阵的加法与数乘1矩阵的运算矩阵的加法与数乘1矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法矩阵的乘法满足以下运算规律。(1)a(AB)=(aA)B=A(aB).(2)分配律：A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.(3)结合律：（AB)C=A(BC).(4)A是mxn矩阵，则ImA=A,AIn=A.2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算矩阵的乘法2矩阵的运算方阵的幕与方阵的多项式设A是n阶方阵，因为矩阵乘法满足结合律，所以K个矩阵A的乘积AA···A表示唯一的一个矩阵，定义A0=I,Ak=Ak-1A,k=I,2…n。ak称为矩阵A的K次幕．方阵的幕满足如下的运算律：(I)AKA1=Ak+I;(2)(AK)1=Akl.3矩阵的运算方阵的幕与方阵的多项式302逆矩阵逆矩阵逆矩阵的概念定义3.4设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B,使AB=BA=I则称A为可逆矩阵，B称为矩阵A的逆矩阵，记为A-11定理3.5若n阶矩阵A可逆，则它的逆矩阵是唯一的．逆矩阵逆矩阵的概念定理3.6n阶矩阵A可逆的充要条件是A的行列式detA不等于0。1逆矩阵逆矩阵的概念1逆矩阵逆矩阵的概念1逆矩阵逆矩阵的概念1逆矩阵逆矩阵的概念1逆矩阵初等变换求逆矩阵1.初等矩阵为了利用矩阵的乘积来表示矩阵的初等变换，此处引入初等矩阵的概念。单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。对应于三种类型的初等变换，分别得到如下3类初等矩阵．(1)对调单位矩阵I的第I、J行，得到初等矩阵RIJ(2)用一个非零数A乘以单位矩阵I的第，行，得到初等矩阵R,(3)单位矩阵I的第1行乘以常数K后加到第I行上，得到初等矩阵RIJ(k)对一个mxn矩阵A做一次行初等变换，相当于在A的左边乘以一个相应的m阶初等矩阵；对矩阵A做一次列初等变换，相当于在A的右边乘以一个相应的n阶初等矩阵．2逆矩阵初等变换求逆矩阵2逆矩阵初等变换求逆矩阵2逆矩阵初等变换求逆矩阵2逆矩阵初等变换求逆矩阵2逆矩阵初等变换求逆矩阵2逆矩阵初等变换求逆矩阵2逆矩阵初等变换求逆矩阵2逆矩阵利用逆矩阵求解矩阵方程含有未知矩阵的方程称为矩阵方程，考虑形如AX=B的矩阵方程的求解，其中X是未知矩阵，A、B是已知矩阵，A可逆。1.用逆矩阵和矩阵的乘法求解矩阵方程首先，因为A可逆，所以在式(3.43)两边左乘矩阵A一1,可得X=A-1B2.用初等变换法求解矩阵方程3逆矩阵利用逆矩阵求解矩阵方程3逆矩阵利用逆矩阵求解矩阵方程3逆矩阵利用逆矩阵求解矩阵方程303矩阵的分块矩阵的分块分块矩阵及其运算法则1矩阵的分块分块矩阵及其运算法则对行、列数较多的矩阵，常采用分块的方法，使较高阶的矩阵运算化为较低阶的矩阵运算，同时，采用分块的方法可以使矩阵结构更清晰，有利于发现矩阵各部分间的联系。1.分块矩阵及其运算法则(1)矩阵加法(2)矩阵数乘(3)矩阵乘法(4)矩阵转置1矩阵的分块分块矩阵及其运算法则1矩阵的分块分块矩阵及其运算法则1矩阵的分块分块矩阵及其运算法则1矩阵的分块分块矩阵及其运算法则1矩阵的分块分块矩阵及其运算法则1矩阵代数一些特殊