再生核空间中一类偏微分方程的精确解

再生核空间中一类偏微分方程的精确解

0m=2时再生核优化模型研究中的偏微分方程边值问题。的求解,其中,m={1,2}。当m=1时,方程(1)是热传导问题;当m=2时,方程(1)是波动方程问题。许多实际问题可以归结为该模型,有许多文献研究该类方程的解法。近年来,再生核理论和方法被广泛应用于数值计算与方程求解。笔者在方程(1)的解是存在且唯一的假设下,构造再生核空间,在该空间中给出方程(1)的精确解,精确解用级数形式表达,并由精确解直接给出近似解。1再生核空间的定义定义1Wm[0,∞)={u(t)u(m)(t)是绝对连续实值函数,u(m+1)(t)∈L2[0,∞),u(0)=0,(m-1)u(1)(t)=0}。内积和范数:<u,v>Wm=∫∞0(u(m)v(m)+u(m+1)v(m+1))dt;∥⋅∥Wm=√<⋅,⋅>Wm,其中,u(t),v(t)∈Wm[0,∞)。可以证明Wm[0,∞)是再生核空间,再生核为Rmt(s)={12(e-t-s-e-|t-s|-|t-s|+t+s),m=1,16(3e-t+s-3e|t-s|+6(1+e2-e2-s-es)-1+e2-6et(-2+e2-s+es)2-2e2-6e-t(-2e2+e2-s+es)2-2e2,-6t-t3+3t2s-12(6+(t+s)2)(-t+s)+12(6+(t+s)2)|t-s|,m=2,对于t∈[0,∞),任意的u(s)∈Wm[0,∞),有<u(s),Rmt(s)>Wm=u(t)。定义2W3[0,1]={u(x)u(2)(x)是绝对连续实值函数,u(3)(x)∈L2[0,1],u(0)=0,u(1)=0}。内积和范数:其中,u(x),v(x)∈W3[0,1]。可以证明W3[0,1]是再生核空间,再生核为对于x∈[0,1],任意的u(y)∈W3[0,1],有<u(y),R3x(y)>W3=u(x)。定义3W4[0,1]={u(x)u(x)是绝对连续实值函数,u(1)(x)∈L2[0,1]}。内积和范数:其中u(x),v(x)∈W4[0,1]。参见文献W4[0,1]是再生核空间,再生核为R4x(y)=12sinh(1)[cosh(x+y-1)+cosh(|x-y|-1)]。定义4W5[0,∞)={u(t)|u(t)是绝对连续实值函数,u′(t)∈L2[0,∞)}。内积和范数:∥⋅∥W5=√<⋅,⋅>W5,其中,u(t),v(t)∈W5[0,∞)。可以证明W5[0,∞)是再生核空间,再生核为R5t(s)=12(e-t-s+e|t-s|)。设D=[0,1]×[0,∞),{pi(x)}∞i=1是W3[0,1]的完全正交系,{qi(t)}∞i=1是Wm[0,∞)的完全正交系。定义5W(D)={u(x,t)u(x,t)=∞∑i,j=1cijpi(x)qj(t),{cij}∈l2,u(0,t)=0,u(1,t)=0,u(x,0)=0,(m-1)ut(x,0)=0}。内积和范数:<u1,u2>W=∞∑i,j=1cijdij,∥⋅∥W=√<⋅,⋅>W,其中,u1(x,t)=∞∑i,j=1cijpi(x)qj(t),u2(x,t)=∞∑i,j=1dijpi(x)qj(t)∈W(D)。W(D)的再生核是K(x,t)(y,s)=R3x(y)Rmt(s),对于(x,t)∈D,任意的u(y,s)∈W(D),有<u(y,s),K(x,t)(y,s)>W=u(x,t)。性质1如果u(x,t)=u1(x)u2(t),v(x,t)=v1(x)v2(t)∈W(D),则有<u(x,t),v(x,t)>W=<u1,u2>W3<v1,v2>Wm。类似的,设{ri(x)}∞i=1是W4[0,1]的完全正交系,{si(t)}∞i=1是W5[0,∞)的完全正交系,可以定义再生核空间∼W(D)。设˜u(x,t)=u(x,t)+η(x,t),其中,η(x,t)满足η(0,t)=-h1(t),η(1,t)=-h2(t),η(x,0)=-f(x),(m-1)ηt(x,0)=-mg(x),方程(1)经齐次化并用u(x,t)表示˜u(x,t),可得式中q(x,t)=∂2η∂x2-∂mη∂tm+p(x,t)。引入有界线性算子,令T(u)=∂mu∂tm-∂2u∂x2,则方程(2)等价于易证T:W(D)→∼W(D)是有界线性算子,T-1存在,并且T*表示T的共轭算子,有引理:引理1设Mi=(xi,ti),若{Mi}∞i=1在D上稠密,φi(M)=KMi(M),ψi(M)=T*(φi(M)),则{ψi(M)}∞i=1是W(D)的完全系。证明由ψi(M)=T*(φi(M)),知ψi(M)=T*(φi(M))=<T*(φi(·)),KM(·)>W=<φi(·),T(KM(·))>W=T(KM(Mi)),显然ψi(M)∈W(D)对每个固定的u(M)∈W(D),令<u(M),ψi(M)>W=0(i=1,2…),则<u(M),T*(φi(M))>W=<T(u(·)),φi(·)>W=T(u(Mi))=0。由{Mi}∞i=1在D上稠密,知T(u(M))=0,又T-1存在,故u≡0。证毕。{ψi(M)}∞i=1经Gram-Schmidt正交化可得到W(D)的完全规范正交系{ˉψi(M)}∞i=1,ˉψi(Μ)=i∑k=1βikψk(Μ),其中,βik是正交化系数。2基于描述特征的无意义规则近似解定理1设方程(3)的解存在且唯一,若{Mi}∞i=1在D上稠密,则方程(3)的精确解可表示为u(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βikq(Μk)ˉψi(Μ)。(4)证明由{ˉψi(M)}∞i=1是W(D)的完全规范正交系知,对任意u(M)∈W(D),有<u(M),φi(M)>W=u(Mi),因此u(Μ)=∞∑i=1<u(Μ),ˉψi(Μ)>Wˉψi(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βik<u(Μ),Τ*φk(Μ)>Wˉψi(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βik<Τ(u(Μ)),φk(Μ)>Wˉψi(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βik<q(Μ),φk(Μ)>Wˉψi(Μ)=∞∑i=1i∑k=1βikq(Μk)ˉψi(Μ)。由定理1可知方程(3)的精确解表达式,该表达式是由初等函数组成的级数形式给出的,当方程右端由离散形式q(Mk)(k=1,2,…)给出时,通过截断精确解的级数表达式可以得到方程(3)的近似解。记un(Μ)=n∑i=1i∑k=1βikq(Μk)ˉψi(Μ),(5)εn(M)=u(M)-un(M),(6)称式(5)为方程(3)的近似解,式(6)为截断误差。从un(M)的表达式可以看出,构造近似解仅需要q(M)的有限多个值,并且截断级数精确的满足方程(3)。定理2若{Mi}∞i=1在D上稠密,u(M)是方程(3)的精确解,un(M)是方程(3)的近似解,则‖u-un‖W→0,‖u-un‖C→0,n→∞。证明因为W(D)是Hilbert空间,由式(4)和(5)易知‖u-un‖W→0,n→∞。又因为u(M)-un(M)=<u(·)-un(·),KM(·)>W,‖KM(·)‖W≤C,C是常数,则|u(Μ)-un(Μ)|=|<u(⋅)-un(⋅),ΚΜ(⋅)>W|≤∥u-un∥W,∥ΚΜ(⋅)∥W,因此‖u-un‖C→0,n→∞。证毕。推论1若{Mi}∞i=1在D上稠密,u(M)是方程(3)的精确解,un(M)是方程(3)的近似解,则un(M)的导数一致收敛于u(M)的导数。证明注意到‖u-un‖W→0,n→∞和‖∂2xxKM(·)‖W≤C1,有|∂2xxu(Μ)-∂2xxun(Μ)|=|∂2xx(u(Μ)-un(Μ))|=|∂2xx<u(⋅)-un(⋅),ΚΜ(⋅)>W|=|<u(⋅)-un(⋅),∂2xxΚΜ(⋅)>W|≤∥u(⋅)-un(⋅)∥W∥∂2xxΚΜ(⋅)∥W≤C1∥u-un∥W→0(n→∞),其中,C1为常数。同理可证:un(M)的其他导数一致收敛于u(M)的其他导数。证毕。定理3在空间W(D)范数意义下,有‖εn+1‖W≤‖εn‖W(n=1,2…),即εn(M)单调下降,并且‖εn‖W→0,n→∞。证明由式(6),有∥εn∥W2=∥u-un∥W2=∑i=n+1∞∑k=1iβikq(Μk)2,∥εn+1∥W2=∥u-un∥W2=∑i=n+2∞∑k=1iβikq(Μk)2,显然,εn(M)单调下降。又因为∑i=1∞∑k=1iβikq(Μk)级数在空间W(D)范数意义下是收敛的,所以‖εn‖W→0,n→∞。证毕。3方法回用例1求解偏微分方程(1),其中,m=2,h1(t)=et,h2(t)=2et,f(x)=1+x2,g(x)=12(1+x2),p(x,t)=-2et+et(1+x2),精确解为u(x,t)=(1+x2)et。解应用式(5)计算近似解un(M),u1(Μ)=β11q(Μ1)ψ¯1(Μ);u2(Μ)=β11q(Μ1)ψ¯1(Μ)+β21q(Μ1)ψ¯2(Μ)+β22q(M2)ψ¯2(M);︙取n=900,利用Mathematica5.0计算,绝对误差|u-un|,|∂tu-∂tun|,|∂xu-∂xun|见图1。均方根误差为:∑(u-un)2n=2.04332e-5,∑∂x(u-un)2n=6.41437e-5,∑∂t(u-un)2n=5.86885e-5,∑∂tt2(u-un)2n=2.45478e-4,∑∂xx2(u-un)2n=2.45477e-4。当u(x,t)未知时,该方法仍然适用。例2求解偏微分方程{∂2u∂t2=∂2u∂x2+p(x,t),0≤x≤1,t>0,u(0,t)=0,u(1,t)=0,u(x