正方形同课异构

正

方

形

装修房子铺地板的砖(如下图)大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？矩形呢？观察图2-57

正方形的四条边都相等，四个角都是直角.

正方形既是矩形又是菱形.

我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.有一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等有一个角是直角平行四边形菱形正方形矩形图2-58结论正方形的四条边都相等，四个角都是直角.正方形的对角线相等，且互相垂直平分.可以知道：结论

正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.

正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：如图2-59，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.举例例1∴AD=CD，∠A=∠DCF=90°.证明∵四边形ABCD为正方形，∵DF⊥DE，∴

∠EDF=90°，

即∠1

+∠3=90°，图2-59又

∵∠2+∠3=90°，∴

∠1=∠2.∴

△AED≌△CFD(ASA).∴

DE=DF.图2-59

观察示意图2-58，说一说如何判断一个四边形是正方形？说一说

可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.

也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角.举例例2如图2-60，

已知点A′，B′，

C′，

D′分别是正方形ABCD

四条边上的点，

并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形

是正方形.图2-60证明∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=DA.又∵AA′=BB′=CC′=DD′，∴D′A=A′B=B′C=C′D.又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.图2-60∴A′D′=B′A′=C′B′=D′C′.∴四边形

是菱形.又∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠2+∠3=90°.∴∠D′A′B′=90°.∴四边形

是正方形.图2-601.

已知正方形的一条对角线长为4cm，

求它的边长和面积.答：边长为

面积为

8cm2.练习2.

如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个

矩形一定是正方形吗？为什么？答：一定是.由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得此矩形的四条边都相等，即为正方形.中考

试题例1

如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是

(

)

A.3cmB.4cm

C.5cm

D.6cmA解析因为四边形MFEN是由四边形AMND翻折得到，故DN=EN.又因为E是BC的中点，所以设CN=x，则DN=EN=8-x.在Rt△ECN中，由勾股定理得EN2=CN2+CE2，即(8-x)2=x2+42，解得x=3，故选A.x中考

试题例2

如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.求证：AF=BF+EF.解析∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°.∵

DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°.∴∠ADE+∠DAE=90°.又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF.

∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠A