新数学高考试题(含答案)

新数学高考试题(含答案)一、选择题1．若tan3，则cos22sin2（）46425481625A．B．C．1D．252．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对3．已知f(x)x52x33x2x1，应用秦九韶算法计算x3时的值时，v的值为()3A．27B．11C．109D．364．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（）1A．3352B．C．D．101055．(x22)5展开式中的常数项为（）x3A．80B．-80a=1C．40D．-40与垂直，则是（）2bab6．已知平面向量（，－3），=（4，－），aA．2B．1C．－2D．－17．如果42，那么下列不等式成立的是（）cossintantansincoscostansinsincostanA．C．B．D．8．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix49．函数f(x)x33x21的单调减区间为A．(2,)B．(,2)abC．(,0)D．(0,2)10．已知2a3b6，则，不可能满足的关系是（）b12A．ababB．ab42a1C．2D．ab28211．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限12．设a,bRB．第二象限aC．第三象限D．第四象限aa,aa2b，N,则（），数列中，n1n1nnb12,a10B．当b14,a10A．当1010b2,a1010b4,a1010CD．当．当二、填空题112,则m______.ab13．设2a5m,且b14．若,满足约束条件则的最大值．15．如图，长方体ABCDABCD的体积是120，E为CC的中点，则三棱锥E-BCD的11111体积是_____.16．在极坐标系中，直线cossina(a0)与圆2cos相切，则a__________．174263)sin_____．17．计算：cos(b18．锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是__________．a19．已知正三棱锥PABC的底面边长为3，外接球的表面积为16，则正三棱锥PABC的体积为________.20．设等比数列满足aa+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．1n三、解答题21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游不喜欢游合泳泳计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面的临界值表仅供参考：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001（K2≥k）k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)（参考公式：K2，其中n=a+b+c+d）5,022．已知椭圆C:xy5221ab0的一个焦点为，离心率为.ab232（1）求椭圆C的标准方程；Px,y（2）若动点迹方程.为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨0CPP023．在△ABC中，BCa，ACb，已知，是方程x23x20的两个根，ab2且2cos(AB)1．（1）求角C的大小；（2）求AB的长．x2t（t为参数，aR），以24．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y1at坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴建极立坐标系，线的极坐标方程是xC22sin.4（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；A、两点，且AB7，求实数a的值.（2）己知直线l与曲线C交于Ba25．已知数列｛｝的前n项和Sn＝n2－5n(n∈N）．n+a（1）求数列｛｝的通项公式；na（2）求数列｛｝的前n项和Tn.n2n1【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】试题分析：由tan3sin3,cos或sin3,cos445，得，所以4555cos22sin216412642525，故选A．25【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求明确，建立已知和所求之间出三角函数值；②“给值求值”关键是目标的联系．2．A解析：A【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x坐标相同，而y、z坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．考点：空间两点间的距离.3．D解析：D【解析】【分析】【详解】由秦九韶算法可得fxx52x33x2x1?x0x2x3x1x1,ν10ν13031ν332112ν1133363故答案选D4．CC解析：【解析】【分析】Pxy)y(设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为，问题求的是，x首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1xyP(xy).张，有多少种可能，再求出的可能性有多少种，然后求出【详解】y设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为，分别写有数字，，，，的x1234555525种情况，1张，放回后再随机抽取1张，共有张卡片中随机抽取xy当时，可能的情况如下表：yx个数1，2，3，4，15523452，3，4，543，4，534，5251P(xy)543213，故本题选C.255【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.5．CC解析：【解析】【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值【详解】(x22)5x3TCr(x)(2)T(2)rCx展开式的通项公式为:25，化简得105r，rrr515r1x3r105r0T(2)2C240，故展开式中的常数项为.35令，即r2故选：C.【点睛】本题主要考查二项式定理6．D、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.D解析：【解析】【详解】4,32，由与a垂直可知试题分析：ab,34,2abab·a0433201考点：向量垂直与坐标运算7．CC解析：【解析】【分析】分别作出角的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.【详解】在单位圆中分别作出的正弦线MP、余弦线、正切线AT，OM如图所示，很容易地观察出OMMPAT，即cossintan.故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.8．AA解析：【解析】试题分析：二项式展开式中含的项为的展开式的通项为，故选A.，令，则，故【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考热点，几属于容易题一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项，则其通项为，则含的项为查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的.乎是每年必考的内容，式可以写为．9．DD解析：【解析】【分析】对函数求导，让函数的导函数于小零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.【详解】f(x)x33x21f'(x)3x26x3x(x2)00x2，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.10．CC解析：【解析】【分析】a1log3，b1log223b6即可得出log3log21，23根据，根据a23log2log22，即可判断出结果．33【详解】∵2a3b6；∴alog61log3，blog61log2；2233∴ab2log3log24，ab2log3log24，故正确；A,B2323a12b122log22log32log3log22，故错误；C23232log2∵a2b22log3log2log322232324log3log22log3log28，故正确D2323故．C【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：ab2ab和不等式a2b22ab的应用，属于中档题11．AA解析：【解析】在复平面内对应的点坐标为在第一象限，故选A.12．AA解析：【解析】【分析】11a1，得到当b1对于B，令x20，得λ，取时，a＜10；对于C，令1042241﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取＝，得到当b＝﹣2时，a＜10；对a2于，令﹣Dx2x2110117，取a117，得到当b＝﹣4时，a10＜10；对于A，λ﹣4＝0，得221aa211，a(a21)213，a(a4a2)219117＞1，32222442162162341a当≥时，a131223＞2n1a102a，由此推导出（），从而6n4an＞an4n729＞＞64．10a10【详解】112对于，令xB2，得λ，041a，，a1＜10，1取a，∴22212n1∴当时，＜，故错误；ba1010B4对于，令﹣λ﹣＝，得λ＝或λ＝﹣，Cx20212取＝，∴＝，…，＝＜，a210na2a212∴当＝﹣时，＜，故错误；b2a10C10117对于，令﹣Dx2λ﹣＝，得，402117117a117＜10，2n取a1a2，∴，…，22∴当＝﹣时，＜，故错误；b4a10D10aa11a(a1)213，24对于，A2，222223a(a4a23)219117＞1，42162164﹣＞，递增，a0{a}nan+1n1a当≥时，13122n1a2a，n4an＞nna35a2＞4a3＞4a25∴a10a3729＞＞．故A正确．1064＞，∴（），∴a62104aa3＞1029故选A．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力解析：10【解析】【分析】11alogmblogmlog102，得到答案.abm变换得到，，代入化简得到25【详解】2a5bmalogmblogm，，25，则11log2log5log102,m10.故abmmm10.故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A（13）与原点连线的斜率最大故yx的最大值为3考点：线性规划解法解析：【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法15．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱120所以因为为的中点所以由长方体的锥的体积【详解】因为长方体的体积为性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴解析：【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体ABCDABCD的体积为120，1111所以ABBCCC120，1因为E为CC的中点，1所以CE12CC，1由长方体的性质知CC底面ABCD，1EBCD的底面BCD上的高，所以CE是三棱锥所以三棱锥EBCD的体积V11ABBCCE11ABBC1CC112010.32322121【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.16．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化解析：12【解析】【分析】根据2xy2,xcos,ysin将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再2根据圆心到直线距离等于半径解出a.【详解】因为2xy2,xcos,ysin，2由cossina(a0)，得xya(a0)，由2cos，得=2cos，即xy2=2x，即(x1)y1，22221a1，a12，a0，a12.2因为直线与圆相切，所以【点睛】xcos及ysin直接代入并（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式化简即可；（）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如cos,sin,2的形式，2进行整体代换其中方程的两边同乘以或同除以及方程两边平方是常用的变形方法但对.().方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.17．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基32解析：2【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.【详解】依题意，原式cos17πsin26πcos4πsin8ππ2π32π2π32.cossin44343【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.18．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以解析：(2,3)【解析】【分析】【详解】0B2A0A，所以20AB4因为ABC为锐角三角形，所以，A263bsinB2cosAb(2,3).A(,)，所以64asinA所以，所以a19．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径33解析：或4934【解析】【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】4rr2,2PABC的外接球的表面积为，根据1616正三棱锥公式得到根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P点在底面的投影为H点，则OPr2,OAr2,OHh2，底面三角形的AH外接圆半径为，根据正弦定理得3到23，故得到3.外接圆半径为sin600在三角形OAH中根据勾股定理得到h2234h1或31三棱锥的体积为：hS3ABC13133.或者133133333193.224代入数据得到32243393.故答案为：或44【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过然后同样的方各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直就是其外接球的球心，再根据半径，底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补棱锥，可以补成长方体，圆心且垂直于多边形所在平面的法找到另一个多边形的线的交点，直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，顶点到体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三它们是同一个外接球.20．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用解析：64【解析】a8aa10a(1q2)101{qq试题分析：设等比数列的公比为，由{{得，1311.，解得所aa5aq(1q2)512241n(n1)17以aaaaqnn121(n1)n48()22n22n，于是当n3或时，aaa2212n12取得最大值2664.考点：等比数列及其应用三、解答题21．（1）列联表见解析；（2）有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3）.【解析】3试题分析：（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，5可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2与邻界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰好有1人喜欢游泳的概率.试题解析：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计50男生女生合计40206010304050100（2）因为所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a，b，c，另外2名学生记为1，2，任取2名学生，则所有可能情况为（a，b）、（a，c）、（a，1）、（a，2）、（b，c）、（b，1）、（b，2）、（c，1）、（c，2）、（1，2），共10种.其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a，1）、（a，2）、（b，1）、（c，1）、（c，2），共6种所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及独立性检验的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找基准本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，(A,B)(A,B)….(A,B)，再(A,B)，一定要按顺序逐个写出：先，11121n21(A,B)…..(A,B)依次(A,B)(A,B)….(A,B)…这样才能避免多写、漏写现象222n31323n的发生.xy221；（）22．（）12xy13.202094【解析】【分析】【详解】c试题分析：（）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、aa1cb、三者的关系求出b的值，从而确定椭圆C的标准方程；（）分两种情况进行计算：2k第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、P1k2kk112Px,y，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为00ykxxyx，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用000kkk121得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方P程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第PP一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程P.5（）由题意知5a3，且有3，即5，解得3b221ab2，xy2C的标准方程为21；因此椭圆94，yykxxykxykx（）①设从点所引的直线的方程为2P，即0000C的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则kkkk1，12当从点所引的椭圆P12将直线ykxykx的方程0代入椭圆的方程并C化简得0360，9k4x218kykxx9ykx220000218kykx49k49ykx2360，20000化简得ykx29k40，即x9k22kxyy40，222000000x9k22kxyy40的两根，则kkk则、是关于的一元二次方程12202000kky241，0x91220化简得xy13；20203,2均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆PP②当从点所引的两条切线Px2y213上.综上所述，点的轨迹方程为xy13.P22考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.23．C120o,c10【解析】1cosAB，所以C12021cosCcos试题分析：解：（）ABab23{ab22（）由题意得∴AB2AC2BC22ACBCcosCa2b22abcos120ab232210=ababab222∴AB10考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题axy2a10；C的直角坐标方程是xy2x2y0；24．（1）l的普通方程223（2）3【解析】【分析】（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线l的普通方程，由曲线C的极坐标2sin（θ2展开得22（ρsinθ+ρ方程为ρ＝），cosθ），利用2242xcos即可得出曲线C的直角坐标方程；ysin（2）先求得圆心C到