微积分上册答案第六章习题6 1

π5π,在区 , 6解 2 y'π2

6 6 解：y4x35x2x20,1上连续，在0,1上可导，y'12x210x1 2 π π 解：fxsinxFxxcosx在区间0,2上连续，在0,2上可导， 2 π fπ2

1 F'x1sinx在 上恒不为零2

f'x f'

2 π ，

1,'

，所以在 中必有一点使F' 1sin

x0F'

xπ02

2F'ξ πypx2qxr应用拉格朗日中值定理时，所求得的点ξ总是位于区ybyapb2pa2qbqapbpaqbay2pxqy

pbpa2f1f2f3f40，分别在区间1,2,2,3,3,4π证明恒等式arcsinxarccosx1x2'

0arcsinxarccos

1 1 arcsin1arccos1arcsin1arccos1 若方程axnaxn1 x0有一个正根x o证明：方 anxn1an1xn2 证明：axnaxn1 x在x0和xx处取值都为零，其导数 anxn1an1xn2 fxabfx1fx2fx3,axxxb，证明：在xx内至少有一点ξfξ 证明：在区间xxfx应用罗尔定理知存在ξxxfξ0 xxfx应用罗尔定理知存在ξxxfξ0，再在区间ξ,ξ fx应用罗尔定理知存在ξξ,ξxxfξ0 ab0,n1,ab0,ablnaab ξ证明：对lnx在ba上用拉格朗日中值定理得lnalnbξ

(1)arctanaarctanbab（2）x1ex

1ξ2ababx5x10x5x10xx，由罗尔定理存在ξ使得5ξ410 x5x10x5x1x0取值1x1取值1，所以在0,1中有一根。fxgx在ab上连续，在ab内可导，证明在ab内存在一点ξfg

fg

baf

f'ξg'ξ

fg

fg

,fxex

fx内满足关系式fxfxf01fx f'xexf f f 证明： e2 0，所 为常数， fx1fxex设函数yfx在x0的某邻域内具有n阶导数，且f0f0fn100,fx

fnθ ,0θ 0和xfx和xnfxfxf0f'ξ1，其中ξ严格位于0x0和ξ1 xn 1f'ξ f'ξf' f"ξ 1 nξn1 fxx33xa在0,1xx，则由罗尔定理必有ξ严格xxfξ3ξ233ξ2100ξ aa1an0,证明多项式fxaaxaxn在0,1

n Fxaxa1x2

anxn1

ξ0,1Fξfξaaξaξn0 fx在0,a上连续，在0,afa0。证明：存在一点ξ0,a，使得fξξfξ0.bfbfaξfξlna

fbf

ξfxfagxg

gxgafxfag'ξf'ξxa gxgafxfahxgxfxhxhahξxagxgafxfag'ξf'ξxagxgafxfa。总之得fxfagxg

fxaxsinxsinyxy

fxa0fxax为常数，设为bsinxsinycosξxyarcsinxarcsinyxy

xyarcsinxarcsin

xyxyfxax4bx3cx2abcxf0exax2bxc

x1x2x3x4x1x2,x2x3,x3x4exax2bxcξxx,ξxx,ξxx exax2bxc'ex2axb0；再在区间ξ,ξ,ξ,ξex2axb利用罗尔定理可得到ηξ,ξ,ηξ,ξ满足ex2axb'ex2a 间η1,η2上对函数ex2a利用罗尔定理可得到ζη,η满足ex2a'ex0 exax2bxc x设函数fx在x0,x0δ上连续，f'x在x, x0

f'xAfxA fxfx0 x

lim00

ξfx在abab0，试证存在cab2cfbfab2a2fcfxx2ab上运用柯西中值定理得fbfaf'cb2 fx在a

fx

f'c

fx

ππfxAgtftantarctanat

gtarctanaπ

上满足罗尔定理的条件，故存在tarctanaπ 2 2 gtftantsec2t0ftant0，取ctant

fx

fxA，若在afxA则存在xafxAfxA

fx

fxAx1xa，x2xfxfxfxfxfx在xx上的最大值必在xx 设为cfcfx在rrn阶导数，且limfnxlfnx0fn0limfn1xfn10limfnξllimfnx x f

g

f' g''fx

f'xgxfxg'g2 （1）fafb0，求证存在ca,bfc0 （2）fafb,kfa,fbca,b fxfa