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文档简介

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(2)

空间角第一章空间向量与立体几何1.理解线线、线面、面面夹角问题．2.会用向量方法求直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角.学习目标若两异面直线l1,l2所成角为θ，它们的方向向量分别为a,b，则有

两异面直线所成角l2

l1θab

cosθ=|cos<a,b>|=

例题如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角.思路分析:建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线EF和BC1所成的角.解:分别以直线BA，BC，BB1为x,y,z轴，建立空间

直角坐标系(如右图).

阶段小结

阶段检测（一）BA

直线与平面所成角用平面的法向量求线面角的大小，设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线与平面所成角为θlθan

例题已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小．

阶段小结求直线与平面所成角的思路与步骤方法一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．方法二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量，利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤。

阶段检测（二）如图，在直三棱柱ABOA′B′O′中，OO′＝OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点．若OP⊥BD，试求：(1)OP与底面AOB所成角的正切值；(2)BD与侧面AOO′A′所成角的正弦值．平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．

平面与平面所成角

设平面α的法向量为n1平面β的法向量为n2，平面α与平面β的夹角是θ，则平面α与平面β的夹角为：θn2n1αβ

A.120° B.150° C.30°或150°D.60°或120°C解：设所求二面角的大小为θ,

例题2.如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求平面APB与平面PBC夹角的余弦值．(1)证明：因为∠BAP＝∠CDP＝90°，所以AB⊥AP，CD⊥PD．因为AB∥CD．所以AB⊥PD．又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD．因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

阶段小结

1．已知平面α的法向量u＝(1,0,-1)，平面β

的法向量ν＝(0,-1,1)，则平面α与β的夹角为________．

阶段检测（三）

(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角BQDA的平面角的余弦值．(1)证明：取AD的中点为O，连接QO，CO.

(2)解：在平面ABCD

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