信号与系统（第2版） 课件 ch03 LTI离散系统的时域分析

第三章信号与系统（第2版）离散系统的时域分析01LTI离散系统的响应LTI离散系统的响应01差分与差分方程差分运算由微分运算可知离散信号的变化率有两种表达形式。因此，有如下定义。LTI离散系统的响应01差分与差分方程1一阶前向差分2一阶后向差分3差分的线性性质4二阶差分5N阶差分LTI离散系统的响应01差分与差分方程差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。y(k)及其各阶差分的系数为常数时就称为常系数差分方程，描述LTI离散系统的是常系数线性差分方程。若单输入单输出的LTI离散时间系统的激励为f(k)，全响应为y(k)，将描述系统激励与响应之间关系的数学模型n阶常系数线性差分方程展开为移位序列。LTI离散系统的响应01差分与差分方程差分方程的数值解与微分方程不同，差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。LTI离散系统的响应02差分方程的经典解与微分方程经典解类似，差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。得出方程的特解后，再根据初始条件求出齐次解中的待定系数，得到完全解。当式中的f(k)及其各阶移位项为零时，齐次方程的解称为齐次解。齐次解的形式取决于特征根的取值不同。齐次解LTI离散系统的响应02差分方程的经典解差分方程特解的函数形式与激励的函数形式有关。选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得出方程的特解。特解根据求解齐次解和特解的方法，全解为：全解LTI离散系统的响应03零输入响应和零状态响应系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应。在零输入条件下，式等号右端为零，化为齐次方程。LTI离散系统的响应03零输入响应和零状态响应当系统的初始状态为零，仅由激励所产生的响应，称为零状态响应。在零状态情况下，式仍是非齐次方程，其初始状态为零。02单位序列响应和阶跃响应LTI系统的单位序列响应和阶跃响应01单位序列1单位序列的定义单位序列也称为单位样值(或取样)序列或单位脉冲序列，它是离散系统中最简单、也是最重要的序列之一。2平移特性如图所示。LTI系统的单位序列响应和阶跃响应01单位序列3单位序列的取样特性4单位序列与单位阶跃系列LTI系统的单位序列响应和阶跃响应02单位序列响应由单位序列所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应。求解离散系统的单位序列响应h(k)可用差分方程法或Z变换法。LTI系统的单位序列响应和阶跃响应02单位序列响应由于单位序列仅在k=0处函数值为1，而在k>0时为零，因而在k>时，系统的单位序列响应与该系统的零状态响应的函数形式相同。这样就将求单位序列响应的问题转化为求差分方程齐次解的问题，而k=0处的值h(0)可按照零状态的条件由差分方程确定。LTI系统的单位序列响应和阶跃响应03单位阶跃响应当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列时，系统的零状态响应为单位阶跃响应或阶跃响应，用g(k)表示。求解g(k)的方法，一种是利用经典法通过解差分方程求得系统的单位阶跃响应；另一种是利用g(k)与h(k)的关系。03卷积和在LTI连续系统中，可以利用卷积的办法求系统的零状态响应，这时，首先把激励信号分解为一系列冲激函数，然后令每一冲激函数单独作用于系统求其冲激响应，最后把这些响应叠加即可得到系统对此激励信号的零状态响应。这个叠加的过程表现为求卷积积分。卷积和在LTI离散系统中可以采用大体相同的方法进行分析，由于离散信号本身就是一个不连续的序列，因此，激励信号分解为脉冲序列的工作容易完成，如果系统的单位序列响应为已知，那么，不难求得每个单位序列单独作用于系统的响应。把这些响应相加就得到系统对于该激励信号的零状态响应，这个相加过程表现为求卷积。卷积和卷积和01卷积和的概念任意离散时间序列可以分解为一系列的单位序列信号之和。序列信号的时域分解LTI系统对于任意激励信号的零状态响应是激励信号与系统单位序列响应的卷积和。任意序列作用下的零状态响应卷积和的定义一般而言，若有两个序列，其卷积和为：01图解法图解法是求简单序列卷积和的有效方法。（1）将序列f1(k)和f2(k)的自变量用i替换，然后将序列f2(k)以纵坐标为轴线反转，得到f2(-i);（2）序列f2(-i)沿i轴正方向平移k个单位，得到f2(k-i);（3）求乘积f1(i)f2(k-i);（4）按照式求各乘积之和。卷积和02卷积和的求解02解析法图解法较为直观，但往往难以得到闭合形式的解，而解析法可以解决这个问题。通常利用数列求和公式，求得序列的卷积和。03不进位乘法求卷积和不进位乘法求卷积和就是利用卷积和的上述特点，将两个求卷积和的序列以各自k的最高值按右端对齐，排成乘法的形式，然后把逐个样值对应相乘但不要进位，最后把同一列上的乘积值按照对位求和即可得到卷积和的值。卷积和卷积和的求解02卷积和03卷积和的性质性质1离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即卷积和的代数运算规则在系统分析中的物理含义与连续系统类似，同样需要注意的是，两个子系统并联组成的复合系统，根据卷积和的分配律，其单位序列响应等于两个子系统的单位序列响应之和:两个子系统级联组成的复合系统，根据卷积和的结合律，其单