应用一元二次方程-教学设计

2023年信息技术与课程融合优质课教学设计

课程基本信息学科数学年级九年级学期(秋季)单位平顶山市第二十六中学姓名黄鹏飞课题6.应用一元二次方程教科书书名：数学教材出版社：北京师范大学出版社出版日期：2014年6月教学目标1.本节课的主题是开展学生的应用意识，也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的开展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中去感受，去自我升华。2.通过一个实际问题，逐步分析题目中的数量关系，逐步重现几何模型的构建方法，最后再把几何模型与我们需要训练的重点——方程的构建联系起来。在过程中促进学生分析问题、解决问题的意识和能力的提高，以及方程观的初步形成。教学内容教学重点：1.根据实际问题抽想、构建方程模型。

教学难点：1.逐句分析题目，构建正确的模型。教学过程1.回忆稳固，情境导入（略）梯子下滑的问题已经练习过，课前也已反馈、检查过了。2.探索新知P52例1.如图,某海军基地位于点A处,在其正南方向200nmile处有一重要目标B,在B的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1nmile）[处理方式：该部分是学习中的重点和难点，在教学前已经给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。所以，在教学过程中须逐句分析题目，从而逐步分解难点：①审清题意：②找准各条有关线段的长度关系：③建立方程模型，之后求解。]【设计意图】根据往届学生出错的原因分析，学生遇到此类题目时，经常会错在对题目没有整体的认识与把握——对应于此题就是不知道动点E的大概的正确位置，从而在建模时出现误差，进而建立的方程关系出现错误，方程错了，后边过程也就没有任何意义了。所以在这里做了重点的展开，补充了两个更容易理解，也是比较简单的两个引导问题，用这两个问题引导学生掌握解题过程中，怎样正确合理的设定动点位置，从而构建出正确的几何模型或者方程模型。问题1、如果：军舰与补给船的速度相同，他们会在哪里相遇？问题2、如果：军舰的速度是补给船速度的3倍，他们会在哪里相遇？通过这两个引导问题的铺垫，加上对这两个问题的数据分析，让学生能找到正确的点E的位置，从而掌握建立合理方程的方法。由于课堂时间关系，这两个问题不做详细的证明，只进行简单的分析、验证。这也是学生解题过程中正确的思路构建过程和方法。[目标实现]通过逐步分析问题中的数量关系，筛选过程中的部分结果。利用多媒体课件，逐句分析题目，以边分析题目，一边重现题图构建的过程。这里注重的是思维过程的展现，是学生能力形成、提升的关键。出示幻灯片第6张。{如图,某海军基地位于点A处,}多媒体展示A点{在其正南方向200海里处有一重要目标B,}[多媒体展示]坐标系，为了简化这里只标注一个正南方的箭头；绘制一条向南的线，并标注距离200海里，重要目标B。（学生对nmile海里的符号还不太习惯，为了不影响学生思路，这里就换成了学生不用思考就知道、理解的中文名称。）{在B的正东方向200海里处有一重要目标C.}先从B点出发，向右画一条线段，标注上长度200海里，标注重要目标C。引导学生发现题目中的隐含条件：正南与正东的位置关系。结合到图上就是AB与BC垂直。{小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;}连接AC，然后标注AC的中点，并标注小岛D。一个最基础的等腰直角三角形已经构建出来了，这时候不能直截了当的就带过去，要进行拓展分析。由于是等腰三角形，所以∠A=45°，AC等于直角边的√2倍，那么DC的距离就是100√2，换算成容易理解的就是大约141.421海里。这个数值要在下面判断一元二次方程的解是否适合题意用到，所以这里要强调一下，{小岛F位于BC的中点.}出示强调点F的位置是BC的中点。因为BC=200海里，所以BF=CF=100海里。{一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,}通过变色，演示军舰的行进轨迹。强调必须要经过点B。{一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.}演示补给船的航行轨迹，强调南偏西方向。同时给同学们暗示，补给船要在军舰到达目标C之前进行补给。题目的基本条件分析完了，下面顺势提出一个简单的问题如果：军舰与补给船的速度相同，他们会在哪里相遇？由于这里强调的是学生的思维过程，所以不强求严格的解题过程，只引导学生做出第一印象、或者是感性上的判断，然后简单的在大脑中进行判断、证明就行。首先多媒体大致画出此时相遇点的位置，接下来引导理解这个就是AB的中点G。证明时的思维过程：由于军舰与补给船的速度相同，所以相遇时他们行驶的路程相同，在图上也就是AG=DG，所以△AGD是等腰三角形；前边已经分析出∠A=45°所以∠ADG=45°，∠AGD=90°，结合AB⊥BC，可得出DG∥BC，由于D是AC的中点，所以DG是△ABC的中位线，所以G也是AB的中点。强调一下：军舰与补给船的速度相同时，他们相遇在AB的中点处。顺势引出第二个铺垫问题：如果：军舰的速度是补给船速度的三倍，他们会在哪里相遇？多媒体展示出此时的位置：相遇在小岛F处。引导学生只做简单的验证，不进行过多的证明过程。补给船的航程：即DF的长度。因为小岛D是AC的中点；小岛F是BC的中点。根据中位线定理，线段DF就是△ABC的中位线，即DF∥BC，且DF=1/2BC=100海里。然后求军舰的航程：由于相遇在F点，结合前面的分析，军舰的航程就是AB+BF，这些线段的长度前面分析时都已经分析出来了，所以AB+BF=200+100=300（海里）正好是补给船航程的三倍，符合题意。接下来引导学生思考，一倍速时相遇在AB的中点G处；三倍速时，正好相遇在BC的中点F处。那么，二倍速时相遇点一定在点G到点F之间，而且必须是在军舰的航线上，也就是点E在GB或者BF上。那么，到底是在GB上还是BF上呢？首先分析，如果在GB上，军舰的航程就是不到200海里，此时补给船的航程就是不到100海里。线段DG已经是点D到AB的最近路程了，所以不足100海里，就是补给船无法到达军舰航线上的任一点，更别提给军舰补给物品了。如果在线段BF上，军舰的航程是200多海里，到小岛F才300海里，所以也不到300海里，补给船的航程就是100多，不到150海里。而DF是100海里，所以E点正好在线段BF上（RT△BDF中，斜边DE大于直角边DF。）这样就为本题能够正确的建立合理的数学模型奠定了基础。顺势也引导出正确的解题思路。DE是补给船航行的路程（航程），不知道，但我们知道军舰的速度是补给船速度的二倍，所以关键点就是这个DE，所以我们设DE的长度为x海里；那么，军舰的航程就是2x海里。从图上看，这2x就是AB+BE，但是这些数量关系暂时无法联系在一起，怎么办？我们看在Rt△DEF中，DF已经知道了是100海里，DE我们也已经设出来了，是x海里。就剩下一个EF。从图上我们可以发现：EF就是BF减去BE，在结合前面我们分析的，于是就有EF=BF-BE=(AB+BF)-(AB+BE)=300-2X此时，学生就发现已经可以在Rt△DEF中利用勾股定理，建立方程了。【思路整理，过程重现，努力做到滴水不漏】出示幻灯片第7张。引导、带领同学们再详细的理一遍解题思路，是同学们的思路升华，形成能力。此处讲解的过程，与课本上的过程有少许不同。留待细心的同学去发现，提问、探究那种方法更简单，更适合自己的思路过程。培养优生能够举一反三，敢于质疑课本，敢于挑战权威。引导学生深入思考：第二个解X2=200+（100√6）/3≈281.6海里，为什么不对？【课堂小结：思路升华】本节课选取了一个现实生活中的题材,让同学们经历列一元二次方程解决问题的过程.这一类题目的难点就在于正确的建模，就是怎样合理简单的把生活中的实际问题抽象成几何问题来解决。那么，当我们在建构方程数学模型,刻画现实世界、解决实际问题时,应注意哪些重要环节?1.整体地、系统地思考、审清问题2.根据条件，逐句分析，逐步构建数学模型3.一边逐句分析，一边看这些条件能得出什么4.把握问题中的等量关系，列出方程5.正确求解方程并检验解的合理性【随堂作业】P53，随堂练习：今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何。【作业】P53-54习题2.9问题解决第2题，第4题。【作业设计目的】三个题目都是用构建数学方程模型解决生活中的实际问题的题目。随堂练习虽然也是两个动点，但是比较简单，而且解出的两个解很自然的就能排除掉一个零值，属于牛刀小试。作业第2题，只是加深了一点，需要用到的变量的表达形式是一致的，而且还能很好地用变量的取值范围就能判断解是否符合