中考数学复习高频考点精讲精练（全国通用）：专题04 整式运算（解析版）

专题04整式运算一、单项式及多项式【高频考点精讲】1．单项式（1）定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义。（2）单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。在判别单项式的系数时，要注意数字前面的符号，形如a或﹣a的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式。2．多项式（1）定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数。（2）多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式。【热点题型精练】1．（2022•攀枝花中考）下列各式不是单项式的为（）A．3 B．a C． D．x2y解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；B、a是单项式，故本选项不符合题意；C、不是单项式，故本选项符合题意；D、x2y是单项式，故本选项不符合题意；答案：C．2．（2022•贺州模拟）单项式﹣2x2yz3的系数、次数分别是（）A．2，5 B．﹣2，5 C．2，6 D．﹣2，6解：单项式﹣2x2yz3的系数是﹣2，次数是2+1+3＝6，答案：D．3．（2022•成都模拟）有规律地排列着这样一些单项式：﹣xy2，x2y4，﹣x3y6，x4y8，﹣x5y10，x6y12…，则第n个单项式（n≥1整数）可表示为（﹣x）ny2n．解：由题意可知，第n个单项式为：（﹣x）ny2n．答案：（﹣x）ny2n．4．（2022•株洲模拟）多项式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次项系数为﹣．解：∵多项式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次项是﹣xy，∴二次项系数为：﹣．答案：﹣．5．（2022•黔东南州模拟）把多项式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降幂排列是﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1．解：多项式﹣3x2+2xy2﹣x3y﹣1按x降幂排列为﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1，答案：﹣x3y﹣3x2+2xy2﹣1．6．（2022•衡水模拟）如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x+b）2为关联多形式，则b＝±5；若（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A+x2﹣6x+2不含常数项时，则A为﹣2x﹣2或﹣x﹣2．解：①∵x2﹣25＝（x+5）（x﹣5），∴x2﹣25的因式为x+5、x﹣5．∴若x2﹣25与（x+b）2为关联多形式，则x+b＝x+5或x+b＝x﹣5．当x+b＝x+5时，b＝5．当x+b＝x﹣5时，b＝﹣5．综上：b＝±5．②∵（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，∴A＝k（x+1）＝kx+k或A＝k（x+2）＝kx+2k，k为整数．当A＝k（x+1）＝kx+k（k为整数）时，若A+x2﹣6x+2不含常数项，则k＝﹣2．∴A＝﹣2（x+1）＝﹣2x﹣2．当A＝k（x+2）＝kx+2k（k为整数）时，若A+x2﹣6x+2不含常数项，则2k＝﹣2．∴k＝﹣1．∴A＝﹣x﹣2．综上，A＝﹣2x﹣2或A＝﹣x﹣2．答案：±5，﹣2x﹣2或﹣x﹣2．二、幂的运算【高频考点精讲】（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am•an＝am+n（m，n是正整数），拓展：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）（2）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。（am）n＝amn（m，n是正整数）（3）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（ab）n＝anbn（n是正整数）（4）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减。am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）【热点题型精练】7．（2022•淮安中考）计算a2•a3的结果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a6解：a2•a3＝a5．答案：C．8．（2022•武汉中考）计算（2a4）3的结果是（）A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7解：（2a4）3＝8a12，答案：B．9．（2022•河北中考）计算a3÷a得a？，则“？”是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：根据同底数幂的除法可得：a3÷a＝a2，∴？＝2，答案：C．10．（2022•淄博中考）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（）A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，答案：C．11．（2022•郑州模拟）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B解：由题意得：1GB＝210×210×210B＝210+10+10B＝230B，答案：A．12．（2022•株洲中考）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．＝a3（a≠0）解：A．因为a2•a3＝a2+3＝a5，所以A选项运算正确，故A选项符合题意；B．因为（a3）2＝a2×3＝a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；C．因为（ab）2＝a2b2，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意；D．因为＝a6﹣2＝a4，所以D选项运算不正确，故D选项不符合题意．答案：A．三、完全平方公式及其几何背景【高频考点精讲】1．完全平方公式（1）（a±b）2＝a2±2ab+b2；（2）特征①左边是两个数的和的平方；②右边是三项式，其中首末两项分别是两项的平方，为正；中间一项是两项积的2倍，符号与左边的运算符号相同。2．验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个小正方形与两个长、宽分别是a、b的长方形的面积之和。【热点题型精练】13．（2022•兰州中考）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2 B．x2+2xy+4y2 C．x2+4xy+2y2 D．x2+4y2解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．答案：A．14．（2022•大庆中考）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为或﹣．．解：根据题意可得，（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，即2t﹣1＝±4，解得：t＝或t＝．答案：或﹣．15．（2022•滨州中考）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为90．解：∵m+n＝10，mn＝5，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．答案：90．16．（2022•乐山中考）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝4．解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴m﹣n＝4，答案：4．17．（2022•荆门中考）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．解：（1）∵＝，∴＝＝＝﹣4x•＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．18．（2022•河北中考）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．解：验证：10的一半为5，5＝1+4＝12+22，探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2＝2m2+2n2＝2（m2+n2），故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．19．（2022•厦门模拟）如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2，又∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．答案：C．20．（2022•邯郸模拟）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．31解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝a²+2ab+b²＝a²﹣2ab+b²+4ab＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），∴图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab＝5×1+2×12＝5+24＝29，答案：B．21．（2022•湖州模拟）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．解：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是4+4＝8，大于8的完全平方数依次是9，16，25…，而丙的面积是2，因而不可能是9；当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张．因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．答案：4．22．（2022•衢州模拟）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：解：由题意可得，方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．四、平方差公式及其几何背景【高频考点精讲】1．平方差公式（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）特征①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。②右边是相同项的平方减去相反项的平方。2．验证平方差公式的几何图形【热点题型精练】23．（2022•赤峰中考）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（）A．13 B．8 C．﹣3 D．5解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，x2﹣4﹣2x＝1，x2﹣2x＝5，所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13，答案：A．24．（2022•益阳中考）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是3．解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．答案：3．25．（2022•六盘水中考）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积a2﹣M；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，即a2﹣M，答案：a2﹣M；（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝10×5＝50，答：A比B多出的使用面积为50．26．（2022•南宁模拟）如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 C．（m﹣n）2＝m2+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）解：图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），答案：D．27．（2022•成都模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（）A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a） C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）解：第一幅图阴影部分面积＝（x+a）2﹣a2，第二幅图阴影部分面积＝（x+a+a）x＝x（x+2a），∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），答案：A．28．（2021•宜昌中考）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，答案：C．29．（2022•石家庄模拟）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）以上两个图形反映了等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）运用（1）中的等式，计算20222﹣2021×2023＝1．

解：（1）根据题意可得，图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中长方形的长为a+b，宽为a﹣b，面积为：（a+b）（a﹣b），则两个图形阴影部分面积相等，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；答案：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝2022