第04讲空间直线平面的垂直（原卷版）

第04讲空间直线、平面的垂直1．直线与直线垂直(1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a，b⊂α))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α一．直线与平面垂直的判定与性质例1．如图，四棱锥中，，为正三角形，，，，．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．例2．如图，三棱柱的所有棱长均为1，且点在底面上的射影是AC的中点D.与交于点E，与交于点F.(1)证明：；(2)求几何体ABCFE的体积.例3．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．求证：BC⊥平面ACD．例4．如图，在三棱锥中，平面分别是的中点．求证：(1)平面；(2)平面．【复习指导】：证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．二．平面与平面垂直的判定与性质例5．如图，在三棱锥中，为直角三角形，，的边长为4的等边三角形，，．求证：平面平面ABC．例6．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点为上的点，.(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.例7．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，.证明：平面平面.例8．如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．(1)求证：平面平面BCD；(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.【复习指导】：(1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(ⅰ)面面垂直的定义；(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．三．垂直关系的综合应用例9．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，.(1)证明.(2)记圆柱的体积为，四棱锥PABCD的体积为，求；例10．如图，四棱锥－中，为正方形，为中点，平面⊥平面，，．(1)证明：//平面；(2)证明：；(3)求三棱锥－的体积．【复习指导】：利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.例11．在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为8eq\r(7)，求四棱锥P－ABCD的体积．【复习指导】：对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．例12．如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq\f(BM,BS)的值；若不存在，请说明理由．1．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β3．若，，，，为空间直线，，为平面，则下列说法错误的是（

）A．，，则B．，，，则C．，，，则D．，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线4．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分不必要条件5．在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面6．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线异面，直线平面D．直线与直线相交，直线平面7．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：①平面；②三棱锥体积为定值；③平面；④平面平面；其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④8．如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题中错误的是（

）A．直线和平面所成的角为定值B．点到平面的距离为定值C．异面直线和所成的角为定值D．直线和平面平行9．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE10．如图，已知正四棱台中，，，，点分别为，的中点，则下列平面中与垂直的平面是（

）A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面11．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（

）A． B．//平面C． D．//平面12．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（

）A．MNAB B．MN与BC所成的角为45°C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC13．（多选）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（

）A． B． C． D．14．（多选）如图，棱长为2的正方体的内切球球心为，分别是棱的中点，在棱上移动，则（

）A．对于任意点，平面B．存在点，使平面C．直线的被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值为15．（多选）如图，平面四边形中，是等边三角形，且是的中点．沿将翻折，折成三棱锥，翻折过程中下列结论正确的是（

）A．存在某个位置，使得与所成角为锐角B．棱上总恰有一点，使得平面C．当三棱锥的体积最大时，D．当二面角为直角时，三棱锥的外接球的表面积是16．（多选）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（

）A．四棱锥为“阳马”B．四面体为“鳖臑”C．四棱锥体积最大为D．过点分别作于点，于点，则17．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β(填所选条件的序号)18．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝________.19．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.则给出下面四个命题，正确的是____________．(把正确结论的序号都填上)①A′D⊥BC；②三棱锥A′－BCD的体积为eq\f(\r(2),2)；③BA′⊥CA′；④平面A′BC⊥平面A′DC.21．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.证明：平面平面.22．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.证明：BE⊥平面EB1C1。23．如图，已知四棱雉中，，是面积为的等边三角形，且，.(1)证明：直线；(2)求点到平面的距离.24．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6．证明：平面平面．25．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.(1)证明平面；(2)证明平面.26．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．证明：SD⊥平面SAB．27．如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为1，延长直径到点，使得，分别过点作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点.(1)证明：平面平面；(2)点到平面的距离为，求的值.28．如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，，为的中点，为的中点，平面过、、三点且与面交于直线，交于点.(1)求证：面面；(2)求证：.29．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，且B1C=，，D是棱BB1的中点.(1)证明：平面ABC⊥平面ABB1A1；(2)求点B到平面ACD的距离.30．如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中．证明：平面平面．31．如图，四棱锥中，底面.底面为等腰梯形，.求证：平面平面.32．图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面.33．在四棱锥中，底面为梯形，，，侧棱底面，E为侧棱上一点，．求证：平面平面.34．如图，四棱锥中，平面，，，，为棱上一点.若，证明：平面.35．如图，在三棱锥中，，D为中点，M为中点，且是正三角形，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.36．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.求证：△PAD为直角三角形.37．如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.若为的中点，求证：.38．如图，在梯形中，为直角，，，将三角形沿折起至.若平面平面，求证：.39．如图，矩形ABCD中，，，将沿AC折起，使得点D到达点P的位置，.证明：平面平面ABC.40．如图，四边形是菱形，且，P是平面外一点，为正三角形，平面平面.(1)若G为边的中点，求证：平面；(2)若E为边BC的中点，能否在边PC上找出一点F，使平面平面？41．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，且边长为2，侧面为菱形，，平面⊥平面.(1)求证：平面⊥平面；(2)求点A到平面的距离.42．如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明：；（2）若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.43．如图所示，已知是边长为6的等边三角形，点M、N分别在，上，，O是线段的中点，将沿直线进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面，如图所示.(1)求证：；(2)若，求点M到平面的距离.44．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平