积分不等式证明

1/1积分不等式的证明积分不等式的证明

一、证明常用的性质

性质1函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和

???

+=+b

a

b

ab

a

dxxgkdxxfkdxxgkxfk)]([2121其中21,kk都是常数。

性质2假如在区间],[ba上1)(=xf,则??-==b

a

b

a

abxdxd)(·1。性质3假如在区间],[ba上0)(≥xf，则??+1

)1(dxx。

例3.设函数)(xfy=定义在区间],[ba上，且对于区间],[ba上任意二点1x，

2x，有2121)(xxxfxf-≤-。证明，（1）对于),(ba内每一点，)(xf是连续函数；

（2）假如)(xf在],[ba上可积，则

2)(2

1

)(abxfabdxxfb

a

-≤

--?

。证明：（1）任给),(bax∈,由题设知

.)(xxfxxfy?≤-?+=?

于是当0→?x时，0→?y，故)(xf连续。(2)当ax≥时，有axaxafxf-=-≤-)(，即

)(axafxfaxaf-+≤≤--。

两边积分，可得

??

?-+≤≤--ba

b

a

b

a

dxaxafdxxfdxaxaf)]([)]([

即?-≤--≤--baabafabdxxfab2

)(2)(2

2故有

2

)(2

abafabxfb

a

-≤--?

。

例4．设)(xf在],[ba上有二阶连续导数，|)(|max]

,[xfMbax''=∈，证明：

3)(24

|)2(

)(|abM

bafabdxxfb

a-≤+--?方法1：由泰勒公式有

2

)2

)((21)2)(22(baxfbaxbafbafxf+-''++-+'++=ξ

两边在],[ba上积分并留意到?=+-

badxb

ax0)2

(得??+-''++-=baba

dxbaxfbafabdxxf2

)2)((21)2(ξ，从而得

24)2(2

|)2)((|21|)2(|3

22abMdxbaxM

dxbaxfbafabdxxfb

ababa

-=+-≤

+-''=+--???

ξ

方法2：令?=xa

dttfxF)(，则),,(xfxFxfxFxfxF''=''''=''='且)(aFbFdttfb

a

-=?（牛顿-莱布尼兹公式），

由泰勒公式有：

3

12)2(6)2)(2(212)22(abFabbaFabbaFbaFbF-'''+-+''+-+'++=ξ（1）

3

22)2

(6)2)(2(212)22(baFbabaFbabaFbaFaF-'''+-+''+-+'++=ξ（2）

由（1）-（2）得

))((48

))(2(213

ξξFFababbaFaFbF'''-'''-+-+'=-

所以3213)(24

|)(|48)(|))(2(|abM

ffababbafdxxfb

a

-≤''-''-=-+'-?

ξξ

例5.设)(xf为]1,0[上的非负单调非增连续函数（即当yx）证明:对于10

≥β

αα

α

βα

dxxfafdxxf)(1)(1

因此可得??≥-αβααβ

0)1(

dxxfdxxf

??≥-αβ

αβ

αβα0)1(dxxfdxxf又因10>>=α

ααα0

0))(0,0(xfdttfF

所以0)(>βF。即0(x)dx-(x)dx0

≥??αβ

α

αβff

故??≥

α

β

αβ

α0

)(dxxfdxxf。

例6.设0>a，函数)(xf在],0[a上连续可微，

证明：??'+≤aa

dxxfdxxfaf00

)(1)0(。

证法1：由于)(xf在],0[a上连续可微所以积分?'-a

dxxfxa0)(存在，且

??-='-aa

xfdxadxxfxa0

)]([)(

??-'-=-a

adxxfdxxfxaaf0

)0(

?=a

a

xadxfxfxa0

)(

?+-=a

dxxfaf0

)0(

由于?

?

+

'-≤

a

a

dxxfdxxfxaxaf0

)(

dxxfdxxfxaa

a

??

+'-≤0

)(

dxxfdxxfaa

a

??+'≤0

)(

所以??'+≤

aa

dxxfdxxfaf00

)(1)0(。证法2：由于)(xf连续，由积分中值定理，存在],0[a∈ξ，使得?=a

afdxxf0ξ)(

又由于?'=ξ

(x)dx(0)-ξ)(fff

所以?

?'+

≤'-=ξ

ξ

ξξ0

)0(dxxffdxxfff

??'+≤

aa

dxxfdxxfa00

)(1??'+≤

aadxxfdxxfa0

0)(1例7.设)(xf为],[ba上的连续递增函数，则不等式成立：

?

?+≥

b

a

b

adxxf

badxxxf)(2

)(（1）

证明：（用性质10）要证（1）式只要证明

0)2

(≥+-

?

dxxfb

axb

a

（2）由于)(xf单调递增，利用积分其次中值定理（性质10），则存在],[ba∈ξ，使?+-

b

adxxfb

ax)2

(??+-++-

=ba

dxb

ax

bfdxbaxafξξ

)2

2(

??+--++-=bb

adxb

axaf

bfdxbaxafξ)2

]([)2()](22)][([22ξξ-+=bbabafbf

0)(2

)]

([≥=abafbfξξ

故（2）成立，原不等式成立。例8．柯西不等式的证明。

证明:柯西不等式为???≤b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf)(])([22

2

。

设???-=b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxfu)(])([)(22

2

ψ

明显)(uψ在],[ba上连续，在),(ba内可导，且

???--='u

a

u

a

u

a

dxxfugdxxgufdxxgxfuguf)(2)u22

22

（ψ

???--=u

a

u

a

ua

dxugxfdxugufdxxgxfuguf)(2222

2

?+--=u

a

dxugxfxgxfugufxguf)](2)([2222

?≤--=u

a

dxugxfxguf0)]([2

所以)(uψ在],[ba上单调削减，则0)(=≤abψψ，即0)(])([)(222≤-=???b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxfbψ

得到结论???≤ba

ba

b

a

dxxgdxxfdxxgxf)(])([222。

例9.设)(xf的一阶导数在]1,0[上连续，且

0)10(==ff，求证：)(max4

1)(1

01

xfdxxfa'≤≤≤?

证明：由于??-=1010)2

1

(xdxfdxxf

?'=1010)212

1)((dxxfxxxf?'--=1

.)2

1(dxxfx

因此有积分中值定理及基本积分不等式，有

dxxxfdxxfxdxxf???-?'='-≤10

1

01

021

)21(].1,0[,2

1

)(10∈-?'=?ξξdxxf

而41

)2121(2121

012

11

=-+-=-???

dxxdxxdxx,

所以

)(max41

)(41)(1

01

xffdxxfa'≤'≤

≤≤?

ξ。例10．函数)(xf在]1,0[上有定义且单调不减，证明：对于任何)1,0(∈a，有

??≥a

dxxfadxxf0

1

)(。

证明：(分析:用换上限法)

由10-''-=axfξ所以，0)(≥Φx。特殊的有0)(≥Φb。即)2

(

)(b

afa

bdxxfba+-≤?。例13.求证：??+≤+2023

02

1cos1sinπ

πdxxxdxxx。分析：只要证?≤+-=2

2

01cossinπ

dxx

x

xI,利用三角函数之间的相互转换及定积分的性质证之。

证明：设

?+-=2023cossinπ

dxxxxI??+-++-=22

24021cossin1cossinπ

ππdxxxxdxxxx21II+=，在2I中，令tx-=

2

π

，则dttttdttttI??-+-=-+-=4

2

4

2

2)

2

(

1sincos)

2

(

1cossinπ

π

π

π

，即

dxxxxxxxxxI?-+++-+-+-=4

2222]

)2

(

1)[1

1)(sin(cos])2

(

1)[cos(sinπ

π

π

0]

)2

(

1)[1

4

)(cos(sin]

)2

(

1)[1

4

)(cos(sin4

224

222

≤-++--=-++--=??dxxxxxxdxxxxxxπ

π

π

π

ππ

ππ，

故式不成立。

例14.设),(xgxf在],[ba连续，且满意：

?

?≥x

a

xa

dttgdttf)(，),(bax∈，??=ba