第43讲 绝对值函数（解析版）

第43讲绝对值函数1．已知函数在上是增函数，函数，当，时，函数的最大值与最小值的差为，求的值【解答】解：因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即，即；因为，若，即时，在，单调递减，则（舍，当，即时，函数在，上递减，在，上递增，且，所以，即，解得．故选：．2．已知，，若函数在，上的最大值和最小值分别记为，，求的值【解答】解：，，，，，，当，时，恒成立，故函数在，上为减函数，故（1），故选：．3．已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当，时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间，上的最大值为（a）．当（a）最小时，求的值．【解答】解：（Ⅰ），由得，得．又，，和，即和；（Ⅱ）证明：欲证，只需证，令，，，则，可知在，为正，在为负，在为正，在，递增，在，递减，在递增，又，，，（4），，；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，在，上，，令，，则问题转化为当，时，的最大值（a）的问题了，①当时，（a），此时，当时，（a）取得最小值3；②当时，（a），，（a），也是时，（a）最小为3．综上，当（a）取最小值时的值为．4．已知，函数．（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当，时，求的最大值．【解答】解：（1）因为，所以，故（1），又（1），所以所求的切线方程为；（2）由于，．故当时，有，此时在，上单调递减，故，（2）．当时，有，此时在，上单调递增，故，（2）．当时，由，得，．所以，当时，，函数单调递增；当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增．所以函数的极大值，极小值．故，．从而．所以，（2），．当时，（2）．又故．当时，（2）（2），且（2）．又．所以当时，（2）．故．当时，（2）．故（2）．综上所述．5．设函数，其中，记的最大值为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）证明：．【解答】解：．当时，，因此．当时，，令，则是在，上的最大值，，（1），且当时，取得极小值，极小值为，（二次函数在对称轴处取得极值）令，得（舍或．①当时，在内无极值点，，（1），（1），，②当时，由（1），得（1），又，，综上，．证明：由可得：，当时，，当时，，，当时，，综上：．6．设为实数，函数．（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数．【解答】解：（1）若，即：．可得，当时，，可得，．当时，，恒成立．综上．的取值范围：；（2）函数，当时，函数的对称轴为：，在时是减函数，当时，函数的对称轴为：，在时是增函数，（3），，当时，，所以，函数在上是减函数．当时，因为，所以，，所以，函数在上是增函数．（a）．当时，（2），此时有一个零点，当时，（a），（a）．所以在上是减函数，所以（a），即（a），当且时，；当时，，所以函数有两个零点．综上所述，当时，有一个零点，时有两个零点．7．设为实数，函数．（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在上的零点个数．【解答】解：（1）当时，不等式为恒成立，满足条件，当时，不等式为，，综上所述的取值范围为，；（2）当时，函数，其对称轴为，此时在时是减函数，当时，，其对称轴为：，在时是增函数，综上所述，在上单调递增，在上单调递减，（3）设，当时，其对称轴为，当时，其对称轴为，当时，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，，（a），又，（a）在上单调递减，（a）（2），在和上各有一个零点，综上所述时，在上有2个零点．8．已知函数．（Ⅰ）若在，上的最大值和最小值分别记为（a），（a），求（a）（a）；（Ⅱ）设，若对，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），，①时，，，在上是增函数，（a）（1），（a），（a）（a）；②时，，，在上是增函数；，，在上是减函数，（a）（1），，（a）（a），（1），时，（a）（a）；时，（a）（a）；③时，有，在上是减函数，（a），（a）（1），（a）（a）；（Ⅱ）令，则，，对，恒成立，对，恒成立，由（Ⅰ）知，①时，在上是增函数，最大值（1），最小值，则且矛盾；②时，最小值（a），最大值（1），且，令（a），则（a），（a）在，上是增函数，（a），；③时，最小值（a），最大值，则且，；④时，最大值，最小值（1），则且，．综上，的取值范围是．9．设函数．（Ⅰ）讨论函数在，内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记，求函数在，上的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求满足条件时的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设，在，递增，即有，，①当时，，递减，即递减；当时，，递增，即递增．即有或时，不存在极值．②当时，，，递减；，，递增．有极小值；（Ⅱ）时，当时，取，等号成立；当时，取，等号成立．由此可知，在，上的最大值为．（Ⅲ）即为，此时，，从而取，，则，并且．由此可知，满足条件的最大值为1．10．已知函数．（Ⅰ）若在，上的最大值和最小值分别记为（a），（a），求（a）（a）；（Ⅱ）设，若对，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），①当时，在，单调递减，则（a），（a）（1），此时（a）（a）；②当时，在，单调递增，则（a）（1），（a），此时（a）（a）；③当时，，此时在，单调递减，在，单调递增，则（a）（a），（a），（1），，此时（a）（a）；因此（a）（a），（Ⅱ）原问题等价于，由（Ⅰ）知①当时，则，即，此时；②当时，则，即，此时，此时；③当时，则（a）（a），，即，此时；由得和，此时，因此．11．函数．（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；（2）已知函数在上不单调．①记在，上的最大值、最小值分别为（a），（a），求（a）（a）；②设，若对任意实数，都成立，求的取值范围．【解答】解：（1）函数，当时，，，递增；当时，，，由题意可得时，在恒成立，故的取值范围是，；（2）①由在在上不单调，可得．当时，，，，在，递减，可得取得最大值，（1）取得最小值．即有（a），（a），则（a）（a）；当时，在，递减，，递增，则的最小值为，最大值为1；当时，在，递减，，递增，，（1）即有（1），则的最小值为（a），最大值为；当时，在，递减，，递增，即有（1），则的最小值为（a），最大值为．综上可得，（a）（a）；②设，若对任意实数，都成立，即有，对任意实数，都成立．当时，，且，即有，即，的范围是，；当时，可得，且，即有，可得的范围是，；当时，可得，且，即有，可得的范围是，．综上可得的范围是，．12．函数，在，上的最大值为（a），最小值为（a）．（1）求（a）（a）（a）；（2）设，若对，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）；①当时，在，上，，（a），（a）（1）；（a）（a）（a）；②当时，在，上单调递增，在，上单调减，且（1），，（2）；故（a），（a）（1）；则（a）（a）（a）；③当时，在，上单调递增，在，上单调减，且（a），，（2）；故（a），（a）（a）；则（a）（a）（a）；④当时，在，上单调递增，在，上单调减，且（a），，（2）；故（a）（2），（a）（a）；则（a）（a）（a）；⑤当时，在，上单调递增，在，上单调减，且，，（2）；故（a）（2），（a）；则（a）（a）（a）；⑥当时，在，上，，（a）（2），（a）；（a）（a）（a）；综上所述，（a）．（2）可化为，故对，恒成立可化为对，恒成立，①时，（a），（a）（1）；故，且，从而解得，，②当时，（a），（a）（a）；故，且，则；③当时，（a）（2），（a）（a）；故，且，故，④当时，（a）（2），（a）；故，且，则，综上所述，．13．已知函数（1）当时，求的单调递增区间（2）设在，上的最大值为（a），最小值为（a），若（a）（a），求实数的取值范围．【解答】解：（1）当时，，的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，当时，函数在，为递增；的图象是开口朝下且以为对称轴的抛物线，当时，函数为减函数，综上所述：时，求的单调递增区间为，；（2）函数，当时，当时，的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，函数为减函数；当时，的图象是开口朝下且以为对称轴的抛物线，函数为减函数；故在，上的最大值为（a），最小值为（a）（1），此时（a）（a）恒成立，当时，当时，的图象是开口朝上且以为对称轴的抛物线，函数在，上为减函数，在，为增函数；当时，的图象是开口朝下且以为对称轴的抛物线，函数为减函数；由，（1），若，（1），故在，上的最大值为（a），最小值为（a）（1），此时（a）（a）恒成立，若，（1），故在，上的最大值为（a），最小值为（a），此时（a）（a）无解，综上所述，14．已知函数（1）若关于的方程在区间，上有两个不同的解，①求的取值范围；②若，求的取值范围；（2）设函数在区间，上的最大值和最小值分别为（a），（a），求（a）（a）（a）的表达式．【解答】解：（1）由，，，得．①作出函数图象，由函数的最小值为1，最大值为．在区间，上有两个不同的解，可得，故的取值范围是．②，，，则有，即，又，，，故的取值范围