第十六讲等差、等比数列解析版

第十六讲：等差、等比数列【考点梳理】1.数列的前项和为与通项公式为若数列的前项和为，通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证．2.等差数列（1）如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．（2）通项公式的推广：．（3）等差中项若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．（4）等差数列的性质在等差数列中，当时，．特别地，若，则．（5）等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和．（6）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．3.等比数列（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式：（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．（3）等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，．（4）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为【典型题型讲解】考点一：等差、等比数列基本量运算【典例例题】例1．（2022·广东汕头·一模）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，，，成等差数列，则（

）A． B． C． D．5【答案】A【详解】设等比数列的公比为，，故由题意可得：，，解得，，故选：A例2．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】．B【详解】A选择中，由即，解得B选项中，C选项中，由，，D选项中，故选：B【方法技巧与总结】等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差公比或项数．在求解时，一般要运用方程思想．（2）求通项．和或是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【变式训练】1.（2022·广东深圳·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．【答案】．2【详解】由题意知，，，解得.故答案为：2．（2022·广东中山·高三期末）已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【详解】因为是正项等比数列，所以，（舍去），．故选：C．3．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：因为，所以.故选：B.4．（2022·广东汕头·高三期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设等差数列的公差为，由题知，解得，所以，，，则，.故选：D.5．（2022·广东中山·高三期末）在数列中，，，则数列的通项公式为________．【答案】【详解】由得：，而，于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，则有，所以数列的通项公式为：.故答案为：6.（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则__________.【答案】8【详解】根据韦达定理可得，由等差数列的性质可得，从而可得.故答案为：87.（2022·广东潮州·高三期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和．若，则_________．【答案】.62【详解】设数列的公比为，则根据题意得，又，所以计算得.由等比数列前n项和得，数列的前五项和为，故答案为：62.8.（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则______．【答案】.136【详解】由题意得．故答案为：1369．（2022·广东珠海·高三期末）等差数列前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．【答案】．(1)(2)7【详解】（1）设等差数列的公差为d，首项为，则，解得，所以数列的通项公式为．（2），，由题得，解得，因为，所以n的最小值是7．10．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和.【答案】．(1)(2)（1）设数列的公比为，依题意可得解得或，又因为数列的各项均为正数，所以.从而可求得，所以，.（2），11．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式及前n项和；(2)若，求数列的前n项和．在这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】．(1)；(2)若选，；若选，.(1)设等差数列的公差为，由，可得：；(2)若选.因为，所以，因此，，两个等式相减得：，，；若选，因为，所以，因此有：.12．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.【答案】．(1)(2)（1）解：设等差数列的公差为，由题得，即，整理得，解得.所以.（2）方法一：由题意可知，的各项为即，因为，且，所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，所以，方法二：在数列中，前面（包括）共有项，令，则，所以，，，，，，会出现在数列的前200项中，所以前面（包括）共有126+7=133项，所以后面（不包括）还有67个1，所以，13．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列满足是的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】．(1)(2)(1)设等比数列的公比为q，，又，∴，，；(2)，①，②，①-②得：，.14．（2022·广东汕头·高三期末）已知正项等比数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，当时，，求数列的前n项和【答案】．(1)(2)(1)解：设数列公比为，因为数列正项等比数列，所以，因为，所以，又由，所以，即，解得或(舍去)，所以，所以数列的通项公式.(2)解：由，所以，当时，可得，且，所以时，，当时，，适合，15．（2022·广东惠州·一模）已知数列满足，且数列是等差数列.(1)求数列的通项公式：(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.【答案】．(1)(2)(1)由，故，可得，，又∵，，∴，，∵数列是等差数列，∴数列的公差，∴，∴；(2)由(1)得，，∴，可得，∴为奇数时，故1，3，5，...109都是集合A中的元素，又，∴为偶数时，由得，∴2，4，6，8，10，是集合A中的元素，∴.考点二：等差、等比数列的判定或证明【典例例题】例1．（2022·广东·一模）已知正项数列，其前n项和满足.(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.【答案】．(1)证明见解析，；(1)依题意，正项数列中，，即，当时，，即，整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，因为是正项数列，即，所以.(2)不存在，当时，，又，即，都有，则，假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，则，即，两边同时平方，得，即，整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，所以数列中不存在满足要求的连续三项.例2．（2022·广东茂名·一模）已知数列，满足，，且，(1)求，的值，并证明数列是等比数列；(2)求数列，的通项公式．【答案】．(1)，，证明见解析(2)，(1)∵∴，.∵，∴＝∴∴是为首项，为公比的等比数列(2)由（1）知是为首项，为公比的等比数列.∴，∴∵，∴∴当时，.当时，也适合上式所以数列的通项公式为数列的通项公式为.【方法技巧与总结】1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。【变式训练】1．（多选）（2022·广东·金山中学高三期末）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（

）A．为等比数列 B．为等差数列C．为等比数列 D．若，则【答案】．AD【详解】A选项，设，则，所以为等比数列，A正确；B选项，若，则没意义，故B错误；C选项，当时，，等比数列的任一项都不能为0，故C错误；D选项，由题意得，，由得，，，即，所以，故D正确；故选：AD.2．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（

）A．数列为递减数列 B．数列是等差数列C．，，依次成等差数列 D．若，，则【答案】.BD【详解】由题意可知数列是等差数列，且递减，则，不妨举例如：则，这三项不构成递减数列，故A错；而,这三项不构成等差数列，说明C错；对于B，，是关于n的一次函数，因此是等差数列，故B正确；对于D，，则，，则，故，故D正确，故选：BD.3．（多选）（2022·广东佛山·高三期末）数列中，.则下列结论中正确的是（

）A． B．是等比数列C． D．【答案】．ABD【详解】因为数列中，，所以，则是以1为首项，以为公比的等比数列，所以，由累加法得，所以，当n为奇数时，是递增数列，所以，当n为偶数时，是递减数列，所以，所以，是以1为首项，以为公比的等比数列，又，所以，故选：ABD4.（2022·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；(2)设，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.（1）当时，，即由，则两式相减可得，即所以，即数列为等比数列则，所以则（2）所以5．（2022·广东深圳·一模）已知数列的首项，且满足．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)（1）由，得，又，故，故，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）可知，所以，

所以．6．（2022·广东深圳·高三期末）已知数列满足，，且（）．(1)证明：数列是等比数列；(2)记的前n项和为，若，均有，求实数的最小值．【答案】．(1)证明见解析(2)(1)解：因为，所以，又因为，

所以是以为首项，为公比的等比数列；(2)解：由（1），得，所以，，…，（），所以（），经检验当时，，亦满足，所以()，

所以，

因为任意，均有，所以()，

又因为()，所以，即实数的最小值为.7．（2022·广东佛山·高三期末）设为等比数列的前项和，、、成等差数列.(1)求证：、、成等差数列；(2)若，是数列的前项积，求的最大值及相应的值.【答案】．(1)证明见解析；(2)当或时，取得最大值.(1)解：设等比数列的公比为.当时，则，则，故，由已知可得，得，整理得，即，因为，可得，故，，所以，，因此，、、成等差数列.(2)解：，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，显然，令，解得，故当或时，取最大值，且.8.已知数列{an}满足(1)问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.【解析】(1)由，解得：，，，，∵a3－a2＝2，a4－a3＝3，∴，∴数列{an}不是等差数列.又∵，，∴，∴数列{an}也不是等比数列.(2)证明：∵对任意正整数n，为偶数，所以，∴，即，其中，∴数列是首项为，公差为的等差数列，从而对∀n∈N*，，则.∴数列的通项公式是(n∈N*).考点三：等差、等比综合应用【典例例题】例1.在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知正项等差数列满足，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)已知正项等比数列的前n项和为，，_________，求．注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．【解析】(1)设等差数列的公差为d，则，因为，且成等比数列，所以，解得：或（舍），所以．(2)选择①：设等比数列的公比为q，因为，所以，又，即，所以或（舍），所以．选择②：设等比数列的公比为q，因为，，即，可得或（舍），所以．【方法技巧与总结】（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．【变式训练】1.已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，因为，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以时，，时，．，，由，，即，（*），令，，（*）式为，其中，且，由已知和是方程的两个解，记，且，是一次函数，是指数函数，由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）．如图，作出和的图象，它们在和时相交，无论还是，由图象可得，，，时，，时，，因此，，，，即，故选：B2.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当时，如下图所示，当公差时，如下图所示，如图可知当时，，，，.故选：D3．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【解析】(1)设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．4．已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．(1)求的值．(2)若，求证：．【解析】(1)解：因为，所以，解得，所以，所以，，；(2)．当时，，当时，，则，所以，.5．已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．(1)求的通项公式；(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．【解析】(1)设等差数列的公差为，与的等差中项为，，解得：；，，；(2)由（1）得：，即，.【巩固练习】一、选择题：1．若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；若，，，为，则不为等比数列，③不符合；故选：B2．已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为，所以，所以，，又、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，即，，构成等比数列，所以，解得，（舍去），所以.故选：A.3．已知数列的前项和为．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，由①，可得：②，两式相减得：，所以，，当时，，故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列，所以，所以故选：C4．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（

）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因为数列为等比数列，且，，若，则，则是、的等比中项，即；若是、的等比中项，设的公比为，则，因为，故，即.因此，是的充要条件.故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，，则下列选项不正确的是（

）A．是等比数列 B．C．是等比数列 D．【答案】B【解析】对于A：当是奇数时，，所以，又因为，所以，所以当是奇数时，，即．即是以首项为，公比为1的等比数列，即选项A正确；对于B：由A知：当是奇数时，，所以，即选项B错误；对于C：当为偶数时，，即，又因为，所以，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，故选项C正确；对于D：，即选项D正确．故选：B.选择题：6．若数列是等比数列，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】AD【解析】设等比数列的公比为，，则是以为公比的等比数列，A对；时，，则不是等比数列，B错；，时，，此时不是等比数列，C错；，所以，是公比为的等比数列，D对.故选：AD．7．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由题设，若的公差和首项分别为，而，∴，整理得，又公差和首项都不等于0，∴，故D正确，C错误；∵，∴，故A正确，B错误.故选：AD8．数列{an}的前n项和为Sn，，则有（

）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1 D．【答案】ABD【解析】依题意，当时，，当时，，，所以，所以，所以.当时，；当时，符合上式，所以.，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD三、填空题：9．在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．【答案】１或.【解析】解：当时，满足，，此时；当时，由，，可得：，解得，此时.综上所述：