微积分原理（上） 课件ch09常微分方程

常微分方程“工业和信息化部“十四五”规划教材清华大学本科优秀教材建设项目资助微积分原理（上）第九章01常微分方程的概念1.引例1.引例1.引例2.常微分方程的概念以上几个例子中的关系式都含有未知函数和未知函数的导数，我们把这样的关系式称为微分方程，在微分方程中，如果涉及的函数都是一元函数，则称为常微分方程。一般地，有3.常微分方程的解3.常微分方程的解如果一个常微分方程的通解能够用自变量的初等函数、初等函数的积分及初等函数的级数等形式表示出来，则称为是可积的，但不是任何微分方程的解都能用不定积分求出，绝大部分的微分方程是不可积的。经典力学中不可积系统的典型例子是天体力学中的三体问题，以及一般的重刚体定点运动问题.一般来说，n阶微分方程含有n个独立常数，把含有n个独立常数的解称为该方程的般解或通解。粗略地说，通解是微分方程所有解的共同表达式。微分方程的通解包含任意常数，如果要完全确定地反映某一客观事物的规律性，就需要确定这些常数值，也就需要对方程附加某种定解条件，从而得到微分方程满足某个特定条件的解，即微分方程的特解。例如，求微分方程y=/(,)满足初值条件()=y的那个解，这样的问题称为微分方程的初值问题(或柯西问题.3.常微分方程的解02一阶常微分方程的初等解法1.可分离变量的微分方程1.可分离变量的微分方程2.齐次方程2.齐次方程3.可化为齐次方程类型的方程4.常数变易法一阶非齐次线性常微分方程的标准形式4.常数变易法4.常数变易法5.伯努利方程5.伯努利方程03一阶微分方程初值问题的解1.初值问题解的存在唯一性定理1.初值问题解的存在唯一性定理2.奇解对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于此方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。在几何上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解.曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过此曲线的每一点,有曲线族中的一条曲线和它在该点相切，例如，单参数曲线族2.奇解微分方程的某一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上至少还有方程的另一个解存在，即奇解是这样的一个解，在它上面的每一点唯一性都不成立，或者说，奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过.从奇解的定义易知，一阶微分方程的通解的包络(若存在)一定是奇解;反之，微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的通解的包络，因此，为求微分方程的奇解，可先求它的通解，再求通解的包络.04高阶线性常微分方程1.可降阶的高阶微分方程1.可降阶的高阶微分方程1.可降阶的高阶微分方程2.高阶线性常微分方程解的结构2.高阶线性常微分方程解的结构2.高阶线性常微分方程解的结构2.高阶线性常微分方程解的结构2.高阶线性常微分方程解的结构2.高阶线性常微分方程解的结构2.高阶线性常微分方程解的结构2.高阶线性常微分方程解的结构2.高阶线性常微分方程解的结构3.高阶非齐次方程的常数变易法3.高阶非齐次方程的常数变易法3.高阶非齐次方程的常数变易法05常系数高阶线性常微分方程常系数高阶线性常微分方程对一般的线性常微分方程，要想得到其通解表达式是非常困难的，本节讨论常系数线性常微分方程的解法.n阶常系数齐次线性常微分方程的标准形式为n阶常系数非齐次线性常微分方程的标准形式为1.常系数齐次线性常微分方程的特征值法1.常系数齐次线性常微分方程的特征值法1.常系数齐次线性常微分方程的特征值法1.常系数齐次线性常微分方程的特征值法1.常系数齐次线性常微分方程的特征值法1.常系数齐次线性常微分方程的特征值法2.常系数非齐次线性常微分方程的待定系数法2.常系数非齐次线性常微分方程的待定系数法2.常系数非齐次线性常微分方程的待定系数法2.常系数非齐次线性常微分方程的待定系数法3.常系数线性常微分方程的应用一质点的振动质点的振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动，如弹簧的振动、乐器中弦线的振动、机床主轴的振动、钟摆的往复摆动、电路中的电磁振荡等。在一定条件下，振动问题可归结为二阶常系数线性常微分方程的求解问题。下面以力学典型例子一弹簧振动为具体模型，讨论有关自由振动和强迫振动的问题.例9.5.15将一弹簧的上端固定，下端挂一个质量为m的小球。当小球处于静止状态时，小球所受的重力和弹性力大小相等，方向相反。这个位置就是小球的平衡位置。如图9-5-1所示，取x轴正向垂直向下，小球的平衡位置为坐标原点。小球从平衡位置开始，在空气中做上下振动。用x(t)表示小球在时刻t的位置，为了确定小球的振动规律，需要求出函数关系x(t).3.常系数线性常微分方程的应用一质点的振动小球在运动过程中受到的弹簧弹性恢复力与位移成正比，方向与位移相反，大小为-kx(t)，其中k为弹簧的劲度系数;小球在运动过程中还受到空气阻力的作用，使得振动逐渐趋向停止，阻力与速度成正比，方向与速度相反，大小为-/x)，其中从>0是比例常数，假设弹簧在运动过程中受到沿x轴方向的外力F(0)的作用，则由牛顿运动第二定律，小球的运动方程为3.常系数线性常微分方程的应用一质点的振动1.自由振动3.常系数线性常微分方程的应用一质点的振动1.自由振动3.常系数线性常微分方程的应用一质点的振动2.强迫振动3.常系数线性常微分方程的应用一质点的振动2.强迫振动3.常系数线性常微分方程的应用一质点的振动2.强迫振动06欧拉方程欧拉方程欧拉方程是一类特殊的变系数线性常微分方程，可通过变量代换转化为常系数线性常微分方程.称如下形式的微分方程欧拉方程07一阶线性常微分方程组1.解的叠加原理及解的存在唯一性1.解的叠加原理及解的存在唯一性1.解的叠加原理及解的存在唯一性2.一阶线性常微分方程组解的结构由定理9.7.1，一阶齐次线性常微分方程组(9.7.2)的解集合是一个线性空间这样我们需要知道这个解空间的维数及一组线性无关的基。为此，需要引入向量值函数的线性相关与线性无关的概念.2.一阶线性常微分方程组解的结构2.一阶线性常微分方程组解的结构2.一阶线性常微分方程组解的结构2.一阶线性常微分方程组解的结构2.一阶线性常微分方程组解的结构2.一阶线性常微分方程组解的结构3.一阶非齐次线性常微分方程组的常数变易法4.从方程组的观点看高阶微分方程 对n阶线性常微分方程：4.从方程组的观点看高阶微分方程 4.从方程组的观点看高阶微分方程 4.从方程组的观点看高阶微分方程 08常系数线性常微分方程组常系数线性常微分方程组1.矩阵A可对角化的情形2.矩阵A不可对角化的情形2.矩阵A不可对角化的情形2.矩阵A不可对角化的情形2.矩阵A不可对角化的情形2.矩阵A不可对角化的情形3.矩阵A有复特征根的情形