医用高数课件1

医用高等数学

讲授人：池永日1、微积分学是微分学

(DifferentialCalculus)和积分学

(IntegralCalculus)统称,英文简称Calculus,意为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学或无穷小分析。微积分中的基本概念主要是函数、极限、连续、导数、积分等，其中极限是微积分的基石。一、微积分的概念

2、微分学的主要内容包括：导数、微分。

3、积分学的主要内容包括：定积分、不定积分。（1）中国数学家的极限、积分思想

“割圆术”（魏晋刘徽）

圆周率、球体积、球表面积的研究

(祖冲之、祖暅)一尺之棰，日取其半,万世不竭（战国庄周）二、微积分的萌芽（2）外国数学家的极限、积分思想

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

欧几里得(公元前330年～前275年)是古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世，其中对不可约量及面积与体积的研究，包含了穷竭法的萌芽。1、到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题，于是在数学中开始研究各种变化过程中的量（变量）之间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点。三、微积分的发展

２、十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论,为微积分的创立做出了贡献。第一类是研究物体运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。

３、十七世纪中叶其他科学提出的四种亟待解决的数学问题：第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

四、微积分的建立

１、由于生产实际的需要，力学和天文学的推动，在众多数学家的努力下，十七世纪后半叶，终于由伟大的英国数学家、物理学家牛顿和德国哲学家、数学家莱布尼兹，在不同的国家，几乎在同时总结先贤研究成果的基础上，各自独立的创建了划时代的微积分。

２、牛顿和莱布尼兹都是结合着力学和光学问题的研究，并且都是用几何学的方法达到微积分的。牛顿侧重于力学的研究，为寻求变速运动的瞬时速度，而建立了微积分的计算方法。莱布尼兹关于微积分的工作，则来自于几何学的研究，突出了切线的概念。五、微积分创立的历史意义1、微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

2、一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。

３、微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想。”恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。

４、微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用。

５、微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。六、数学与生命科学及医学

随着现代科学技术的发展和电子计算机的应用和普及，数学方法在医药学中的应用日益广泛和深入。医药学科逐步由传统的定性描述阶段向定性、定量分析相结合的新阶段发展。

DNA是分子生物学的重要研究对象，是遗传信息的携带者，它具有一种特别的立体结构——双螺旋结构，这正好是数学中的纽结理论研究的对象。

另一项高技术是H.Hauptman与J.Karle合作，发明了测定分子结构的新方法，人们应用此方法，并结合利用计算机，已测出包括维生素、激素等数万种分子结构，推动了有机化学、药物学和生物学等的发展，由此可见在此两项技术中数学起了关键的作用（两发明人分享1985年的诺贝尔化学奖）。

1985年医学诺贝尔奖《免疫网络理论》

首创CT理论的A.M.Cormark(美)及第一台CT制作者C.N.Hounsfield（英）因而荣获1979年诺贝尔医学和生理学奖。

一系列突破性的研究正在重新定义以下领域：数学生态学、流行病学、遗传学、免疫学、神经生物学和生理学等等。

现在每年产生的生物数据量可以达到1015字节。如何管理这些“海量”数据，以及如何从中提取有用的知识，成为了对当前生物学家、数学家、计算机专家等的巨大挑战。一门新兴学科——生物信息学（bioinformatics），也应运而生。第一节函数一、函数的概念三、分段函数四、函数的几种简单性质二、初等函数第一章函数和极限一、函数的概念1．常量与变量

注意一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的,要根据具体过程和条件来确定.而在过程中可取不同数值的量称为变量.在某过程中始终保持同一数值的量称为常量,例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是常量；而在研究成人的健康状况时通常是变量．２．函数的概念是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义域．而因变量的所有对应值的集合则称为函数的值域.

定义1-1

设和是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量的每一允许的取值，按照一定的规律，变量总有一个确定值与之对应，则称变量是变量的函数．变量称为自变量，变量称为因变量.记为注意1在实际问题中,定义域是由实际问题决定的.注意2函数的两要素为：定义域与对应规律注意3函数的表示法有:公式法、图像法和表格法,这三种表述各有特点并可以相互转化．

因此,两个函数只有当它们的对应规律和定义域都完全相同时,才认为是两个相同的函数.

例1-1在出生后1～6个月期间内,正常婴儿的体重近似满足以下关系:公式法37

例1-2监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的变化曲线,如下图示:例1-3某地区统计了某年1~12月中当地流行性出血热的发病率,见下表

(月份)(‰)12345678910111216.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0ty（5）三角函数（4）对数函数（3）指数函数（2）幂函数（1）常函数二、初等函数1.基本初等函数（6）反三角函数等.12345101520y=xay=x2y=xy=1/xy=ax-3-113248y=exy=0.5xy=logax12y=log2xy=log0.5xy=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx.2

-11

/2-

/2-2

/2-5050-

/214-202025y=arcsinx,y=arctanx-11-

/2

/2-44-1

/2-

/2

变量

u

称为复合函数的中间变量．复合函数的概念可以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间变量的传递而构成的．2.复合函数

定义1-2

设变量y

是变量u的函数,变量u又是变量

x

的函数,即

如果变量x

的某些值通过变量u可以确定变量y的值,则称y

是x

的复合函数,记为例1-4

设求关于的复合函数．

解