复变函数与积分变换

复变函数与积分变换1主要意义数学理论解决实际问题信号与系统（复变函数）数字信号处理（积分变换）电磁场理论（数理方程）培养推理、归纳、演绎和创新能力2复变函数与积分变换主要内容复变函数内容与高等数学相对应复数、复函数、复导数、复积分、级数新添内容留数和保形映射积分变换高等数学的内容傅立叶变换新添内容离散傅立叶变换、离散沃而什变换、梅林变换、z变换3主要要求按时完成作业学习态度认真深入领会数学理论掌握并能运用数学理论和方法解决实际问题成绩平时30％－40％期末考试60％－70％4复变函数5复变函数发展史十六世纪引入十七和十八世纪，复变函数得到了发展J.达朗贝尔（1717－1783）和L.欧拉（1707－1783）逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并应用复数和复变函数研究流体力学十九世纪，奠定了复变函数的理论基础A.L.柯西（1789－1857）和K.外尔斯特拉斯（1815－1897）应用积分和级数来研究复变函数G.F.B.黎曼（1826－1866）研究了复变函数的映照性质二十世纪，复变函数称为数学的重要分支应用领域不断扩展电学、热学、理论物理、空气动力学、流体力学数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论和数论等等）6主要内容第一章、复数与复变函数第二章、解析函数第三章、复变函数的积分第四章、级数第五章、留数7第一章、复数与复变函数8主要内容1.1复数的概念与运算1.2复变函数91.1复数的概念与运算主要内容：1、复数及其代数运算2、复数的几何表示3、复数四则运算的几何意义4、复球面5、复数的乘幂与方根101、复数及其代数运算什么是复数？称为复数实部虚部虚数单位x=Re(z)y=Im(z)称为纯虚数称为实数111、复数及其代数运算两个复数相等的条件；当且仅当实部与虚部分别相等一个复数等于零的条件：当且仅当实部与虚部同时等于零共轭复数：x+iy和x–iy记做12代数运算复数的和、差、积、商对复数和：和、差：乘法：除法：13代数运算算律：交换律：结合律：分配律：142、复数的代数运算复数的常用运算（1）（2）（3）若，则与至少有一个为零证明：若（4）15代数运算举例：例1：例2：求证：16代数运算共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）172、复数的几何表示实数（x,y）与x轴和y轴构成的二维实数平面一一对应那么复数呢？复数由一对有序实数（x，y）唯一确定x轴上的点对应实数，因此x轴被称为实轴y轴上的点对应虚数，因此y轴被称为虚轴

表示复数z的平面被称为复平面或z平面复数的第一种表示方法182、复数的几何表示复数z与从原点O到z=x+iy所引向量构成一一对应关系复数的第二种表示方法Oxyz＝x+iyargz|z||z|：向量z的长度，称为复数z的模Argz：由实轴的正向到向量之间的夹角，称为复数z的幅角19复数的模复数模|z|的性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）Oxy|z1+z2||z1-z2|z1z220复数的模求证所以：21复数的模求证当时：有：当时，同理有：所以：22复数的幅角Argz有无穷多个值，每两个值相差2的整数倍只有一个值在（，]的范围内，该值被称为主值，记做argzArgz＝argz＋2k（）tan(Argz)=当z＝0时，z的模值为0，幅角不定23复数的幅角例5：求Arg（2－2i）和Arg（－3＋4i）243、复数四则运算的几何意义根据直角坐标系和极坐标系的关系可得复数z的三角表达式：根据欧拉公式：可得复数z的指数表达式：253、复数四则运算的几何意义定理1－1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积； 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和即：例7：z1=-1,z2=i,求Arg（z1z2）＝？表示集合的相等，即对等式左端的任一值，等式右端必有一值与之对应，反之亦然对两个非零复数：Oxy|z1+z2|z1z2263、复数四则运算的几何意义定理1－2：两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的幅角等于它们被除数与除数的幅角差即：对两个非零复数：用指数表达式计算复数的乘积与商，可得：273、复数四则运算的几何意义例8：z1=1+i,z2＝－1－i,求z1z2，z1/z2283、复数四则运算的几何意义由于因此：当增加或减少时，z点沿圆周移动一圈回到出发点，因此，两者表示同一个复数OxyOxyzz029O4、复球面（1）复数的球面表示NzPZ：复平面上任意一点N：球