Banach空间及其相关定理

课程 现代分析基础学生姓名 学号 院系 专业 指导教师 二0—五年十二月四日目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"绪论 1\o"CurrentDocument"Banach空间基本概念 1拟范数定义及例子 122Banach空间 2Banach空间中线性变换及其性质 3\o"CurrentDocument"一致有界定理及其推论 4问题 4基本概念 43.3一致有界定理及其推论 5一致有界性定理及其推论的应用 6\o"CurrentDocument"Hahn-Banach定理与凸集分离定理 7实线性空间上的Hahn-Banach定理 7复线性空间上的Hahn-Banach定理 8赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 8有关Hahn-Banach定理的一些推论 9Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 9\o"CurrentDocument"Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 9开映射定理 95.2逆算子定理 115.3闭图像定理 12\o"CurrentDocument"总结 14\o"CurrentDocument"参考文献 15Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理#闭的。设3门€D(S),S-limn3n=3且S-limnS3n=u。则存在{xn}?D(T)满足-1-13n-Xnwn,S3n-Txnwn,(n=1,2,…)因此，故3€DS,S3=u。s-limntxxs-limntxxn=s-limntx3n3，s-limntxS3n=n。定义5.3.3(1)设X，Y是两个集合，考虑乘积XXY={x,y;?x€X,y€Y},若T：XtY是某个映射，则称集合GT={x,Tx,?x€X}是T的图像。显然XXY中的点(x,y)€G(T)当且仅当y=Tx。(2)若X，Y是线性赋范空间，定义x,y=x+y，?(x,y)€XXY则得到XXY上的范数，XXY也是线性赋范空间，此时XXY完备当且仅当X,Y都完备。若T:XtY是线性算子，则？a,B€①，ax,Tx+3y,Ty= ax+ By, aTx + BTy =( ox+ By,T( ax+ 时)),所以G(T)是XX丫的线性子空间。称T:XtY是闭算子(闭映射)，若G(T)是XXY中的闭集。定理5.3.1(1)T:XXY是闭算子当且仅当对于 X中的任意序列Xn,若XnTx,TXnTy,则y=Tx。(2)连续算子是闭算子。证明：⑴若G(T)闭，xn€X,xnTx,TxnTy,贝U|(xn,Txn-(x,y)||=xn-x+Txn-yt0这说明在G(T)中(Xn,Txn)T(x,y),G(T)闭导致(x,y)€G(T)。反之，若T:XtY具有所说的性质，Xn,yn?GT,Xn,ynt(x,y)，贝xn-x+Txn-y= xn,Txn-x,yt0,于是xnTX,TxnTy。由所说条件，y=Tx，即(x,y)€G(T),G(T)闭。⑵设T:XtY连续，若XnTx,TxnTy,由T的连续性知道TxnTTx，从而y=Tx。由知G(T)是闭集，T是闭算子。定理5.3.2(闭图像定理)设X,Y是Banach空间，T:XT是线性算子，若T是闭算子，则T连续。证明：注意此时XXY是Banach空间，G(T)是闭的，从而也是Banach空间。定义P:GTTX,x,TxTx,?(x,Tx)€G(T),则容易验证P是线性的、一一的和到上的。此外Px,Tx=xwx,Tx,故||P|W1。根据逆算子定理， P-1：XtGT,xt(x,Tx)有界，从而Txwx,Tx=P-1xwP-1 x,?x€X即l|T||W||P1|,T连续。总结本文的主要目的是介绍 Banach空间以及有关Banach空间的相关定理，但是由于篇幅关系，本文只对重要定理进行了梳理。 本文用五章的内容介绍了 Banach空间以及Banach空间中的相关定理，其中第一章主要介绍了Banach空间的基本概念，以及基本概念相关的一些性质。从第二章开始，一直到第五章，开始介绍Banach空间中一些重要的基本定理，同时给出了定理的推导与证明。最后对全文进行了一个总结。虽然本文的目的是介绍 Banach空间以及有关Banach空间的相关定理，但是由于篇幅关系，本文只对重要定理进行了梳理参考文献希尔伯特(Hilbert)空间和巴拿赫(Banach)空间[EB/OL].(2013-03-29)[2015-12-4]./s/blog_75e9038501012n8b.html.薛建明.拟Banach空间的正交性[D].中山大学，2009.金善镐.有对称基的Banach空间扩展模型的结构性问题[D].黑龙江大学，2012.刘妍.拟Banach空间的几何