13随机变量及其分布

第13章随机变量及其分布§13.1离散型随机变量及其概率分布12.1。1随机变量在某些随机试验中，试验结果（基本事件）本身就是数。例1-1抛一枚骰子，观察出现的点数.所有可能的结果是整数1，2,3，4，5，6，如果用变量表示这些结果,则可能的取值是1，2，3，4,5，6，当骰子下落后（试验结束)，取值就确定了。例1—2检测一批量电子管质量。每支电子管的使用寿命可能是区间上任何一个实数值,其中为质量最好的电子管使用寿命。若用变量表示电子管寿命（单位：小时），则的取值随检测结果不同而在上取不同的实数,当检测完毕，的取值也就确定了。在另一些随机试验中，试验结果看起来不是数,但可以人为地拟定一个实数来表示它。例1-3抛掷一枚硬币，观察它下落后出现正面还是出现反面。若规定当“出现正面”时,变量取值为1，当“出现反面”时,变量取值为0，于是对于试验的每一种可能结果，均有唯一确定的实数与之对应.上述例子表明，随机试验的所有可能结果可以用一个变量（或，或）来表示，每次试验之前不知道它取哪一个实数值,因为它的取值随试验结果的随机性亦相应地具有随机性，这个变量,有别于普通函数的变量，就是我们要引入的随机变量。定义6-1对于给定的随机试验，Ω是其样本空间，对Ω中每一样本点，有且只有一个实数与之对应，则称这个定义在样本空间Ω上的实值函数为随机变量。随机变量通常用大写英文字母或希腊字母表示，它的取值用小写英文字母表示。引入了随机变量概念以后,就可使用随机变量的取值以及取值所满足的不等式来表示随机试验中多种形式的随机事件,从而随机事件的概率就可以表示为随机变量取不同实数值的概率。比如在例1-1中，=1表示随机事件{出现1点｝;在例1-2中，≤2200表示随机事件｛该电子管寿命不超过2200小时｝；在例1-3,=1表示随机事件{出现正面}等等。例1-4在10件同类型产品中,有3件次品,现任取2件，计算含次品的概率。解用变量表示｛取出的2件产品中含次品数｝,则的可能取值有0,1，2；｛=0｝表示次品数为0，即{取出的2件中没有次品｝;{=1｝表示次品数为1,即｛取出的2件中有1件次品｝；｛=2｝表示次品数为2，即｛取出的2件全都是次品｝。于是有=,=，=6.1。2离散型随机变量及其分布律定义6—2设随机变量可能取有限个或可列无限个数值,且取这些值的概率满足并且（6—1）则称为离散型随机变量，称,=1,2,…为离散型随机变量的分布律。为直观起见，的分布律表示如下：…………反之,若一列数,…且满足(6—1),则该列数可作为某一离散型随机变量的分布律。容易写出例1—4中随机变量的分布律如下：例1-5

若离散型随机变量的分布律为，=1,2，…其中0＜＜1，求。解因为，所以有=1，解得6。1。3常用离散型随机变量下面介绍常用的离散型随机变量.1

两点分布定义6—3若随机变量仅取0和1,且，，,即分布律为1-则称服从参数的两点分布(或0—-1分布）,习惯上记。例1—6已知100件同型号产品中有90件正品，10件次品，现从中随机抽取1件，我们定义=求的分布律.解由古典概型(5-1)有，，所以分布律为如果随机现象仅有两种可能的结果,且都有正概率时，就能用一个服从两点分布的随机变量描述.2二项分布在重伯努利试验中，设在每次试验中事件发生的概率为，用表示重伯努利试验中事件发生的次数，则可能的取值为0、1、…、,且对每一个(0≤≤)，事件{=｝即事件｛次试验中事件发生次},于是有,=1,2,…,（6-2）定义6-4若随机变量的分布律由（6-2）给出，则称服从参数为，的二项分布，记为如果记，则，它恰好是二项式展开式的通项，这正是二项分布取名的缘由.特别地，当=1时，二项分布即为两点分布。二项分布可作为描述“射击次，其中有次中靶”；“抛硬币次，其中出现正面次”；“在次品率为的一批产品中有放回地取次（每次任取一件），其中有次取出次品”等随机现象的数学模型。例1-7某射手射击一次中靶概率为0.9，若射手共射击5次，求：

（1）中靶的概率（2）中靶不少于4次的概率。解射手射击5次，相当于做5次伯努利试验，设表示中靶次数，则（1）

设=｛中靶},则={没有中靶｝，则=0。99999(2）设={中靶不少于4次}例1—8从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设汽车在各交通岗遇红灯（事件）是相互独立的,并且概率均为0。25,设为汽车在途中遇到红灯的次数，求的分布律以及汽车至多遇到一次红灯的概率。解汽车每次遇红灯（记为事件）的概率均为0。25，从学校到火车站的途中有三个交通岗，则可认为做3重伯努利试验，因此途中遇红灯的次数,于是,经计算有0123至多遇一次红灯的概率为例1—9设保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0。005,且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年内这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率。解设为1000个投保人中在未来一年内死亡的人数,对一人而言，在未来一年内是否死亡相当于一次伯努利试验，1000人就是1000重伯努利试验，，因此这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率为要直接计算这个式子是相当麻烦的，下面介绍一种简便的近似算法，即二项分布的逼近分布定理。定理6—1（泊松定理)在重伯努利试验中，事件在一次试验中发生的概率为(与试验总次数有关)，当时（>0常数），有证明记则即，对任意的常数(=0，1，2，…）成立.实际应用中,当大小（），适中，二项分布近似计算公式为（6-3)回到例1—9，有=10000.005=5，因此，最后的计算是查泊松分布概率表(附表1)，例如当，找到表中“"这一列,然后逐一查得等等.3泊松分布在上一段我们给出了当大小，适中的二项分布的逼近分布，它就是泊松分布。定义6-5若随机变量的分布律为（6-4）称服从参数的泊松分布，记为～。泊松分布是用来描述大量随机试验中稀有事件出现次数的概率模型。例如，电话交换台在一定时间内收到求救电话次数,交通路口在一定时间内发生交通事故的次数，均可视为泊松分布。例1-10某一城市在一天内发生火灾的次数服从参数的泊松分布，求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率。解设表示该城市一天内发生火灾的次数，则习题6—11确定常数，使成为某随机变量的分布律；并试一试，求:2一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有数字—3，-3，1,1，1，2，今从袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X的分布律。3一袋中有5个乒乓球，编号分别为1,2,3，4,5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码,写出X的分布律。4有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间发生事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.5某实验的成功概率为0.75，失败概率为0。25，若以X表示实验者获得首次成功所进行的试验次数，试写出X的分布律。6设随机变量X的分布律为试求:7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中次数的概率分布。8一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品观察后仍放回去，求直至取到正品为止所需次数的概率分布.§13。2连续型随机变量及其概率分布在上一节,我们介绍了离散型随机变量，它的一个基本特征是其取值可以一个一个列举出来。若随机变量所取值不能一个一个列举出来，则称之为非离散型随机变量。非离散型随机变量的范围很广,其中最重要的一类称为连续型随机变量，它可能的取值可充满一个区间(或若干个区间的并）,例如§6。1中例1—2的随机变量（电子管寿命)，就属于这种情况。本节讨论连续型随机变量.6。2.1连续型随机变量及其密度函数定义6—6设随机变量,如果存在非负可积函数，−∞＜＜+∞，使得对任意实数a≤b都有则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数，简称密度函数。定义表明，密度函数在上的定积分等于随机变量取值于区间上的概率。密度函数具有以下性质:（1）（2）上述性质可由图6—1（a）、（）说明：图形（a）表明密度函数曲线恒位于轴之上方，取值于任意区间上的概率等于以该区间为底、以曲线为顶的曲边梯形面积；图形（）说明，密度函数曲线与轴之间的区域的面积为1。图6－1(a）图6－1（b）由微积分知识可知,对任何实数，恒有，这是因为即连续型随机变量取任一常数的概率为0.实践中这样的经验不少,例如，某人在公交车站候车，“候车时间刚好2分钟整”几乎是不可能的，即事件｛某人等候时间刚好2分钟整｝的概率为0。不过要注意,概率为0的事件并不是不可能事件。这一性质正是连续型随机变量与离散型随机变量的最大区别。由于连续型随机变量在任一点处的概率都为0，所以，计算连续型随机变量在某一区间的概率时，不必考虑该区间是开区间还是闭区间，它们的概率都相等，即注意：对任意的，当△很小，且在区间［,+△］上连续时，有上式表示，在点处函数值越大,取值于长度很小的区间（，+△)内概率也越大(图6-2）,所以称为概率密度函数。图6-2例2-1

设函数要求:（1）确定常数，使为某一随机变量的密度函数;（2）计算，解(1）由密度函数性质,有＝，于是有显然≥0,所以它是某一随机变量的密度函数。（2）

6。2。2常用连续型随机变量1均匀分布定义6-7若随机变量的密度函数为则称在区间上服从均匀分布，记为.的概率密度曲线如图6—3所示。图6-3易知，服从均匀分布的取值于区间的概率为（6-5)上式表明，该概率与区间长度成正比，而与区间的具体位置无关，这就是均匀分布的概率意义。在实践中，乘客在公交站候车的时间服从均匀分布；数值计算中由于四舍五入的原因小数点后一位小数所引起的误差，一般可认为例2—2城东客运站上午7点起每隔15分钟发一辆车,某乘客在7:00—7:30之间随机到达车站，求该乘客候车时间不超过5分钟的概率。解设乘客候车时间为随机变量，由题意知，其密度函数为该乘客候车时间不超过5分钟,当且仅当乘客在时间段（7：10，7：15］或（7:25，7：30］到达车站，由（6—5），所求概率为2指数分布若随机变量的密度函数为则称服从参数为的指数分布，记为，其中为常数(图6—4)。在实践中,动植物寿命、元件寿命以及服务系统中服务时间等都可用服从指数分布的随机变量描述。图6—4例2—3设打一次电话所用时间（单位：分钟)服从参数=0。1的指数分布，某人准备进公用电话亭打电话时，有一人在他前面走进了公用电话亭。试计算：这个人等候（1）5－10分钟的概率；（2）超过10分钟的概率。解设表示某人等候的时间,，则所求概率为3

正态分布若随机变量的密度函数为其中（＞0）为常数，则称服从参数、的正态分布，记为，称为正态变量，称的几何图形为正态曲线.正态曲线具有以下性质：（1）正态曲线在轴上方，以为对称轴；(2），即正态曲线以轴为渐近线;93）若固定而改变的值，则正态曲线沿轴平行移动但不改变其形状，即曲线的位置完全由参数确定;若固定而改变的值，则当越小时正态曲线越陡峭,越大时正态曲线越平缓，因此参数刻画了正态变量取值的分散程度：越小，正态变量取值的分散程度越低;反之分散程度越高，见图6—5。图6-5(a)图6—5(b)图6-5(c）正态变量的密度函数具有以下性质：（1）(2)其中（3）在内单调增加，在内单调减少，在处取最大值正态分布是实际生活中最常见的一种分布，大量实际问题中随机变量的分布，都具有正态曲线“中间大、两头小、左右对称”的特点，如：测量误差，灯泡寿命,人的身高、体重，学生的考试成绩，射击时弹着点与靶心的距离等都可以认为服从正态分布。而且后面将看到,许多非正态分布的随机变量也和正态分布的随机变量有着密切的关系。因此，正态分布是概率论中最重要的一种分布。若参数,则称正态分布为标准正态分布。标准正态分布密度函数通常用表示：它的图形关于轴对称，如图6-6(）.对任意,称函数为标准正态变量的分布函数（见下节）.分布函数在处的函数值等于标准正态变量取值于内的概率，即（6—6）即随机事件{}的概率等于标准正态曲线之下、区间（－∞，]之上的区域面积（见图6—6（）；随机事件{}的概率等于标准正态曲线之下、区间之上的曲边梯形面积(见图6—6（））。（6-7）

图6-6(a)图6—6（b）

图6-6（c）图6—6(d)易知(6—8)对给定的，准确计算是很困难的，为此编制了它的近似值表（标准正态分布数值表），见附表2.例2—4查表计算.解查表计算:在正态分布数值表第1列找到“1。6”的行，再从第一行找到“5”的列,它们交叉处的0.950即为所求，即=0.9505类似有=0。6255由（6-8）并查表，=1－=1－0。9750=0.0250例2—5设，查表计算，，解可见，若，则求、、和就转化为分别查表计算、、和.若，我们导出取值于区间内概率的简算公式:(6—9)例2—6设，求解设,则,于是由(6—9）、（6—8）例2-7设，求,为常数。特别地,当=3查表可得随机变量的取值以99.74％的概率落在区间(，）之内，这说明的取值几乎全部集中落入区间（，）内，超出这个范围的可能性不到0。3%.因此在应用中，常把（，）看作的实际取值区间，这就是“原则”(图6—7）.图6—7例2—8某地抽样调查结果表明，考生的数学考试成绩（百分制)服从正态分布,且96分以上的考生占考生总人数的2。3％，试求成绩在60至84分之间的概率。解本题告知分，未知但可通过已知条件求得，由有查正态分布数值表,可得，因此=12,，故所求概率为6。2.3

随机变量的分布函数如前所述，分布律和密度函数分别完整地描述了离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布规律，而实际上还有一种描述两类随机变量概率分布规律的统一方式，这就是随机变量的分布函数.定义6—8设为一随机变量，称定义在实数域上、值域为[-1，1]的函数为的概率分布函数*,简称分布函数或分布。它是与随机变量有关的最重要的概念。——--————-—-—-—-———---—-—----—---—-—--—--—-————-——----——-—有的书定义概率分布函数为，对于连续型随机变量，两种定义是相同的；对于离散型随机变量则有差异，请注意区别.对于离散型随机变量，设其分布律为,则它的分布函数为

(6-10)对于连续型随机变量，设其概率密度为,则它的分布函数为(6—11）可见，分布函数实际上是取值于区间（—∞,]上的累积概率值。因此，有文献上称之为累积概率。分布函数具有下列性质:(1)；（2)是的单调不减、右连续函数，即当有，（3），（4）性质（4）表明，只要知道随机变量的分布函数,就能算出取值于任意区间的概率，所以分布函数完整地描述了随机变量的概率分布规律。例2—9设的分布律为：－1120。50。150.35求：(1）的分布函数及其图形；（2)。解（1）是｛｝的累积概率值,即为小于或等于的那些处的之和，所以当时，事件{},故=0当时,有；当时，有当时，有综上所述，分布函数为（2）图6-8可见，离散型分布函数的图形呈阶梯形，在处具有跳跃间断，其跃度为例2-10

设随机变量的密度函数为试求：（1）的分布函数，画出的密度函数以及分布函数之图形,（2）(3)若，确定.解（1）由已知,有当时，当时，当时，所以的分布函数为图6—9

（2）(3）例2—11（例6—3的另一种解法）,则其分布函数为即于是等待时间在5－10分钟的概率为0.239,等待时间超过10分钟的概率为0.368习题6-21已知X的概率密度函数为求和分布函数。2设连续型随机变量X的分布函数为试求：（1）A，B（2）（3)概率密度函数.3设随机变量，如果，试求4某地抽样调查表明，考生的数学成绩（百分制)近似正态分布，平均成绩为72分，96分以上的考生占考生总人数2.3％，试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率.5某人去火车站乘车，有两条路线可走,第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间（单位：分钟)服从正态分布；第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布求：(1）若动身时离火车开车时间只有60分钟,应走哪一条路线？（2）若动身时离火车开车时间只有45分钟,应走哪一条路线？6设随机变量的分布函数为求：(1）常数；（2）；(3）随机变量的密度函数.7已知某台机器生产的螺栓长度（单位：厘米）服从参数的正态分布，规定螺栓长度在内为合格品，试求螺栓为合格品的概率。8在某汽车站,62路公交车每5分钟有一辆到达，而乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，计算在车站候车的10位乘客中只有1位候车时间超过4分钟的概率。§13.3随机变量函数的分布在分析和解决实际问题时,往往要用到随机变量的函数,它们也是随机变量。例如，某家电商场电冰箱的销售量是随机变量，因而销售电冰箱的利润是的函数，它也是随机变量。本节将说明如何从随机变量的分布函数导出这些随机变量函数的分布函数。设为一随机变量，现在要由的分布函数导出函数的分布函数。我们分别对为离散型和连续型来讨论。1离散型随机变量的函数的分布设是离散型随机变量，其分布律为…………是已知的函数，是随机变量的函数，则随机变量的分布律为…………其中，注意，若函数值中有相等者，则把相等的合并,同时将对应的相加。例3—1已知的分布律为求：（1）的分布律（2）的分布律解1)当取值0、1、2、3、4、5时,相应地取值为3、5、7、9、11、13，故的分布律为2)当取值0、1、2、3、4、5时,相应地取值为4、1、0、1、4、9，其中相等的则合并，并将对应的概率相加，得所以的分布律为2连续型随机变量的函数的分布设为连续型随机变量,其密度函数为；是已知的连续函数,是随机变量的函数.求的密度函数方法是：先求的分布函数,然后再求的密度函数.其中是实数轴上的某个集合，上式将的分布函数在的值转化成了的分布函数在上的值，这是极其重要的步骤.随机变量的密度函数可由下式得到：。例3-2已知,求的密度函数（其中，均为常数，且＞0）解因为，所以的密度函数为，随机变量的分布函数为对求导，则的密度函数为一般地，有如下的结论：定理6—2设随机变量和的密度函数分别记为，，且函数及严格单调，之反函数有连续导数,则的密度函数为(6-11）这里为函数的值域。例3—3设随机变量服从参数的指数分布，求随机变量函数的密度函数。解由于服从参数为的指数分布，因此其密度函数为严格单增且有连续导数,其反函数且，由（6-11）有有时还会碰到这样一类随机变量函数，是一连续型随机变量，但不连续，这样导致随机变量函数也不是连续型随机变量，此时，的分布如何确定?下面我们给出一个具体例子说明。例3-4设由自动生产线加工的某种零件的内径（单位：mm）服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品可获利，销售每件不合格品则亏损,已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径有如下关系：试求的分布律。解易见是一个离散型随机变量，它可能的取值为，，20，并且有综合起来，的分布律为200。15870。15870.6826习题6-31已知X的概率分布为：—2-10123试求：的概率分布。2设的分布律为,求的概率分布。3设随机变量，令，试求随机变量的密度函数。§13。4二维随机变量6.4。1二维随机变量在研究某地区学龄前儿童的发育状况时,要从该地区的全体学龄前儿童中,随机抽查若干儿童,测量他们的身高和体重。这样，就有一个由身高、体重组成的随机向量，该随机向量的值是根据测量结果(被抽到的儿童）而确定的。这里，仅仅单一考察随机变量或是不够的，还需要把这两个随机变量作为整体来考虑，了解它们的联合取值及其统计规律。定义6—9设随机试验的样本空间为，样本点，而是定义在上的两个随机变量，整体称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量（这时,称、为随机向量的两个分量）。相应地称§6.1所述的随机变量为一维随机变量。从几何上看，一维随机变量可以看作是直线上的随机点,而二维随机变量则可看作是平面上的随机点，如图6-10图6—10定义6-10设是二维随机变量，对任意实数对，称二元函数为二维随机变量的联合概率分布函数，简称联合分布函数.定义表明，联合分布函数在点处的函数值是二维随机变量取值于图6-11所示广义矩形区域上的概率.我们根据概率的可加性，可得二维随机变量取值于矩形区域内的概率：（6—12)图6—11是上式的直观图解，读者可将它与图2—12做一比较.图6—11图6-12二维随机变量的联合分布函数具有以下性质：（1)对任意的,有0≤≤1(2）（3）固定一个自变量时，关于另一个自变量单调不减,即当时，；当时，（4）固定一个自变量时，对于另一个自变量为右连续函数，即例4—1设二维随机变量的联合分布函数为，，求常数、、解由联合分布函数的性质,有解得与一维随机变量类似，对于二维随机变量，我们仍然可以分为离散型和连续型来讨论.1二维离散型随机变量若二维随机变量只取有限个或可数多个数对，则称为二维离散型随机变量，像一维离散型随机变量的概率分布那样，我们用联合分布律来表示二维离散型随机变量的概率分布。定义6—11设二维离散型随机变量可能取值为,且取这些值的概率具有性质：（6-13）则称为二维随机变量的联合分布律.我们常用表6—1的形式表示二维随机变量的联合分布律。图6-13是联合分布律的形象表示,图中垂直短线的高度表示二维随机变量取值的概率的大小，所有短线的高度之和等于1表6-1二维随机变量的联合分布律图2—13由概率的可加性知，二维离散型随机变量取值于区域上的概率为例4-2一袋中有6个乒乓球,其中1个红球、2个白球、3个黑球。现从中一次性随机摸取4个球,以，分别表示红球及白球的个数，求：（1）求的联合分布律；(2)设为二维离散型随机变量的联合分布函数,计算：，解可取0、1，可取0、1、2，由古典概型有（1）,，,，于是的联合分布律如下：（2)为了计算,此时事件，于是有,2二维连续型随机变量定义6—12对于二维随机变量，若存在二元非负实值可积函数,使对任何实数对（）有（6—14）则称为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度函数，简称联合密度函数.联合密度函数具有下列性质:(1）.（2).（3)，其中为平面上任一区域，如图6-14所示。（4)在的连续点，有图6-14从几何上看，二元函数表示空间的一张曲面，称为密度曲面。性质(2）表示密度曲面与平面之间的全部体积等于1;性质（3）表示二维随机变量取值于区域内的概率等于以为底、曲面为顶的曲顶柱体体积的大小，见图6—14；而性质（4）说明了二维随机变量的联合密度函数与联合分布函数之间的关系：它们都描述了二维随机变量的概率分布规律，而且知道其中的一个可以求另一个。在多数情况下习惯用联合密度函数来描述二维随机变量的概率分布。例4—3设二维随机变量的联合密度函数为要求：（1)确定常数和的联合分布函数(2）计算和,为所围平面区域（图6-15）解根据联合密度函数的性质，有（1），于是=1于是联合密度函数为故联合分布函数为(2）图6—15与一维随机变量情形类似，若二维随机变量服从区域上均匀分布，则（6-15）其中、分别表示平面区域、的面积，且例4-4设在矩形区域上服从二维均匀分布，求解方法一如图6—16所示,矩形区域的面积，区域的面积，所以图6-16方法二6.4。2边缘分布函数事实上，二维随机变量的联合分布函数既包含了与之间相互关系的信息,也包含了作为的分量与的单一概率分布信息，于是我们给出定义6—13设为二维连续型随机变量的联合分布函数，分别称为与的边缘分布函数。注意到因此，的边缘分布函数可表为(6—15)类似地，的边缘分布函数可表为(6—16）（6-15）、（6—16）表示，二维随机变量的边缘分布函数和可由联合分布函数唯一确定。例4—5求例4-1中及的边缘分布函数和解由(2-15)、（2—16)有根据(6—15）、(6-16）,我们给出二维离散型随机变量的边缘分布律概念.定义6-14设随机变量的联合分布律为分别称为和的边缘分布律，简单记作和客观上所以和的边缘分布律分别为（6-17）上式表明，由二维离散型随机变量的联合分布律能唯一确定随机变量和的边缘分布律，但反之不然,即由和的边缘分布律一般不能唯一确定的联合分布律。那么在什么条件下,可由和的边缘分布律能唯一确定的联合分布律呢？稍后我们讨论这个问题。例4-6求例4-2中的二维随机变量关于和的边缘分布律。解利用二维随机变量联合分布律的表格形式，把其中的概率按同行、同列相加，得于是二维随机变量关于和的边缘分布律为01012在联合分布律的表格中,中间部分是二维随机变量的联合分布律,而边缘部分就是关于和的边缘分布律。正因为它们的位置在联合分布律的边缘上，人们才形象地取了边缘分布律这个名称。6。4.3边缘密度函数设二维连续型随机变量的联合密度函数为，由边缘分布函数概念可得定义6—15设二维连续型随机变量的联合密度函数为，分别称（6-18)(6—19）为、的边缘密度函数.（6—18），（6-19）表示：、的边缘密度函数可由二维随机变量的联合密度函数唯一确定.例4-8设二维随机变量在区域上服从二维均匀分布，试求的联合密度函数和，的边缘密度函数，其中区域由抛物线和直线所围成，如图6-17所示。解区域（图6-17阴影部分）的面积为，再由(6-18)及(6—19）,二维随机变量的联合密度函数以及、的边缘密度函数分别为图6—176.4.4二维随机变量的独立性我们在第1章曾讨论过事件的独立性，它表明一事件发生与否对另一事件发生之概率没有影响。对于二维随机变量，的取值与的取值概率也可能互不影响。例如，两人向同一目标射击，都射击10弹，各人击中目标的次数就属于这种情况。定义6-16设随机变量、，如果对于任意实数，事件与事件是相互独立的，即有（6—20)则称与相互独立。对于二维随机变量，判定与相互独立有以下定理。定理6—3设二维离散型随机变量的联合分布律和、的边缘分布律分别为则相互独立的充分必要条件为：对一切恒有即（6—21）证明从略。定理6-4设二维连续型随机变量的联合密度函数和、的边缘密度函数分别为则相互独立的充分必要条件为：在的一切公共连续点处有（6—22）证明从略.例4-9已知随机变量的联合分布律如下，试分别判定是否相互独立。（1）(2）10。200.4020。050。3510。150.4520。100。30解（1)由题设知随机变量的边缘分布律分别为120。600.40120。250.75因为所以不相互独立。（2)由题设知随机变量的边缘分布律分别为120。250.75120。600.40因为，,,，，对成立，所以相互独立。习题13-41。设的联合分布律为1/61/91/181/31/9求.2。设的分布函数为，试用表示：3。设的分布函数为，它的分布律如下:1/4001/161/161/401/401/16