不同颜色的阳光与三次反射的龙彩虹形成的光学原理及散射角的推导

不同颜色的阳光与三次反射的龙彩虹形成的光学原理及散射角的推导

夏天的下午，雨穿过天空。就在阳光照射的对面天空中,有时会显现出一个内紫外红,颜色排列有规律的半圆形彩环,这彩色的光环就是虹,也称彩虹。很多时候会见到两条同心彩虹同时出现,上方颜色较暗的彩虹称为副虹(又称霓),下方颜色较鲜艳的彩虹称为主虹。彩虹是怎么形成的?为什么我们很少在中午看到出现彩虹呢很多人都觉得奇怪。最早研究彩虹的是法国科学家笛卡儿,1637年他发表文章解释了彩虹是由于太阳光射入空中的水滴里,发生了折射和反射的结果。但他不明白虹的颜色和它按一定次序排列的原因。直到1667年,英国物理学家牛顿发现太阳光通过棱镜时的色散现象后虹的颜色才得以解释。但很多人对彩虹的成因还是不理解,包括一些物理专业的学生,甚至教师。笔者经过多年的教学研究发现,通过对光路图的分析,人们对彩虹成因更容易理解。1.棱镜后的染色太阳光本身包含有不同颜色(频率)的色光,不同频率的色光对于同一种介质的折射率并不相同。因此太阳光通过介质时,不同颜色的光线因折射率不相同而形成色散現象。如图1所示,就是我们最熟悉的阳光通过三棱镜后的色散现象。虽然彩虹也是由于光的色散而产生,但其形成的光学原理远没这么简单。1.1“折射—形成彩虹的光路设空中的小水滴为球型,故可取一个剖面来研究一束光线在其中的折射和反射情况(如图2所示)。太阳光在水滴表面,经过‘折射-反射-折射’,由于色散作用,经过两次折射不同颜色的光线明显分开(如图2中往下方射出的光线)。因此,就有可能形成我们所看到的主虹。如果经过‘折射—反射—反射—折射’的历程,这些光线(如图2中朝上方射出去的光线)因为射向天空,因此在地面上的人并无法看到。若另一束光线从水滴下方入射,经过‘折射-反射-反射-折射’后便会射向地面。这些分散的光束就有可能形成我们所看到的二次虹。如果光线在水滴内经过三次反射再折射出来就有可能形成三次虹。四次虹、五次虹的形成以此类推。1.2音乐的投射方式及副蓝光对内外亚-红色光的影响光线必须进入眼中才会被我们看见,因此对应图2的情形,人必须背对太阳时才能看到太阳光所形成的主虹。对于一个水滴来说,我们只能看见其中折射出来的一种颜色的光,而看不见其它颜色的光。由于雨后的天空停留的小水滴是很多的,位于不同高度的水滴,它投射到人眼内的光线颜色是不同的。比较低的水滴投入人眼的为紫色光,比较高的水滴投入人眼的为红色光(如图3所示)。只要天空中的水滴都位于同一圆弧内,它们便能投射出相同颜色的光,从而形成一条圆弧形的、内紫外红的主虹。副虹(霓)是更高处的水滴提供颜色的,由于光线是从水滴下方入射,所以相对比较低的水滴投入人眼的为红色光,比较高的水滴投入人眼的为紫色光(如图4所示),从而副虹(二次虹)是内红外紫。副虹一定跟随主虹存在,只是因为它的光线强度较低,有时不被肉眼察觉而已。在一般情况下,人们只能见到一条或两条副虹。但在某些特殊天气条件下,有时能见到四条甚至五条彩虹(P27)。1.3以成花、成彩的方式彩虹的色彩鲜艳程度和虹带的宽窄,取决于空气中小水滴的大小。水滴体积越大,形成的彩虹越鲜亮、比较窄,很明显;水滴体积越小,形成的彩虹就越淡,也比较宽,不明显。如果水滴过小,就可能没有彩虹(P27)。一般冬天的气温较低,在空中不容易存在小水滴,下阵雨的机会也少,所以冬天一般不会有彩虹出现。2.彩虹色散角彩虹一般在早上和下午出现,很少在中午出现,这跟彩虹的散射角有关。2.1紫外光散射角的影响空中小水滴的半径一般都大于入射光波波长的100倍,在大气的散射中属于巨大分子的散射,可以用几何光学来处理散射问题。平行的太阳光入射到水滴,由于折射率的色散,使得不同颜色的光线分开。由于入射角的不同,使得同一种颜色的光线弥散开来,即偏向角不同(出射光线与入射光线之间的夹角称偏向角,也称散射角)(如图5所示),抵消了色散的结果(P33-34)。可为什么还能看到彩虹呢?由图5可以看出,当某一波长的入射光线具有某一入射角时,出射光线的偏向角具有极小值(如图5中的光线2)。意味着在这附近出射光线是近似平行的,这表示在这个方向上出射的光最强。我们在这个方向就可以明显看到某一颜色光。如图5所示,由图中几何关系可知,光线每折射一次其方向要改变角度θi-θr,在水滴内部每反射一次要改变角度是π-2θr。如果光线在水滴内反射了m次,则偏向角可写成D=2(θi-θr)+m(π-2θr)(1)求最小偏向角,首先对式(1)求微分dDdθi=2[1-(m+1)]dθrdθi(2)dDdθi=2[1−(m+1)]dθrdθi(2)由折射定律有sinθi=nsinθr(3)对式(3)求微分得dθrdθi=cosθincosθr(4)dθrdθi=cosθincosθr(4)由(2)、(4)式可得(m+1)cosθiD=ncosθrD=√n2-sin2θiD(5)(m+1)cosθiD=ncosθrD=n2−sin2θiD−−−−−−−−−−√(5)故sinθi=√(m+1)2-n2(m+1)2-1(6)cosθrD=(m+1)n√n2-1m2+2m(7)Dmin=mπ+2θiD-(m+1)θrD(8)设θ为具有最小偏向角的出射光线与入射光线反向延长线的夹角,我们不妨称之为视角,因为该角的大小与人们观看彩虹时头部的影子方向和眼睛一线夹角是一样的(如图3所示),则θ=180°-Dmin(9)式中θiD和θrD为具有最小偏向角的光线的入射角和出射角,它们均随光线在水滴内反射的次数m及折射率n而变化。Dmin为最小偏向角(以下均称散射角)。波长为4047。A的紫光其折射率n=1.3435,而波长6563。A的红光其折射率n=1.3318。利用上述公式可以算出紫光和红光在主虹和副虹中的散射角Dmin和视角θ的值。如表(一)所示:由表(一)可知,对于主虹,即当m=1时,紫光的散射角Dmin=139°24′,视角θ=40°36′;而红光的散射角Dmin=137°42′,视角θ=42°18′。紫光的散射角大,红光的散射角小,从而也可以说明主虹内紫外红的原因。由表(一)还可以知道,二次虹(m=2)的紫光散射角小,红光的散射角大。所以二次虹的色彩排列与与主虹相反,即内红外紫。三次虹(m=3)的散射角是锐角,三次虹应该出现在太阳的同一侧,而且色彩排列与主虹相同。因为三次虹淹没在直接透射光中,很难观测到。2.2在特殊的条件下,采集了“自己”的会在半数、无砂、有放无光的方向,这就是一个所随之点,如果有固定植物或者利用创造一个太阳彩虹出现在半空中的位置不是特定的,它会随著观察者而改变。彩虹拱形的正中心位置,刚好是观察者头部影子的方向,彩虹则在观察者头部的影子与眼睛一线夹角为40°36′至42°18′的位置,即约40°至42°的位置。背对太阳时,所有同时进入眼中成固定夹角的光线(如上图中42°的红光)是一个圆锥,圆锥上的圆弧形就是我们所看到的彩虹(如图6所示,O点是彩虹圆弧中心)。不同人所看到的彩虹,是从不同水滴折射出來的。所见到同一道虹,紫光与红光也是來自不同水滴折射出來的。可以说每个人都看到专属于自己的彩虹。因此当太阳在空中高于42度时,彩虹的位置将在地平线以下而不可见。这也是为甚么彩虹很少在中午出现的原因。倘若在飞机上,会看见彩虹会是完整的圆形而不是拱形,而圆形彩虹的正中心则是飞机行进的方向。3.雨后刚转东南角只要有空气中有水滴,而阳光正在观察者的背后以低角度照射,便可能产生可以观察到的彩虹现象。彩虹最常在下午,雨后刚转天晴时出现。这时空气内尘埃少而充满小水滴,天空的一边因为仍有雨云而较暗。而观察者头上或背后已没有云的遮挡而可见阳光,这样彩虹便会较容易被看到。另一个经常可见到彩虹的地方是瀑布附近。在晴朗的天气下背对阳光在空中洒水或喷洒水雾,亦可以人工制造彩虹。4.音乐入射的能量经过对以上光路图的分析可以较好地解释彩虹