安徽省淮北市同仁中学2024届高一上数学期末预测试题含解析

安徽省淮北市同仁中学2024届高一上数学期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是A. B.C. D.2．为了得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度3．下列四个集合中，是空集的是（）A. B.C. D.4．函数的图象的一个对称中心是（）A B.C. D.5．若方程x2+2x+m2+3m=mcos(x+1)+7有且仅有1个实数根，则实数m的值为（）A.2 B.-2C.4 D.-46．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上A.快、新、乐 B.乐、新、快C.新、乐、快 D.乐、快、新7．在半径为2的圆上，一扇形的弧所对的圆心角为，则该扇形的面积为（）A. B.C. D.8．已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）A. B.0C.2 D.109．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏让沙漏在偏离平衡位置一定角度后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．设线长为，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，．若，要使沙漏摆动的最小正周期是，则线长约为（）A.5m B.C. D.20m10．已知向量，若，则（）A.1或4 B.1或C.或4 D.或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________.12．已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是__________13．若向量与共线且方向相同，则___________14．如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______.15．如果实数满足条件，那么的最大值为__________16．将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；②是等边三角形；③与所成的角为，④取中点，则为二面角的平面角其中正确结论是__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，三棱柱中，点是的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，，，，求二面角的大小.18．袋子里有6个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.（1）写出样本空间；（2）求取出两球颜色不同的概率；（3）求取出两个球中至多一个黑球的概率.19．已知幂函数的图象经过点.（1）求实数a的值；（2）用定义法证明在区间上是减函数.20．已知二次函数满足条件和，（1）求；（2）求在区间（）上的最小值21．已知二次函数满足（1）求的最小值；（2）若在上有两个不同的零点，求的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.【题目详解】设C(m，n),由重心坐标公式得重心为,代入欧拉线方程得：①AB的中点为，，所以AB的中垂线方程为联立，解得所以三角形ABC的外心为，则，化简得：②联立①②得：或，当时，BC重合，舍去，所以顶点C的坐标是故选A.【题目点拨】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.2、B【解题分析】利用诱导公式，的图象变换规律，得出结论【题目详解】解：为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，故选：B3、D【解题分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.【题目详解】选项A，；选项B，；选项C，；选项D，，方程无解，.选:D.4、B【解题分析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案【题目详解】令，，解得：，.所以函数的图象的对称中心为，.当时，就是函数的图象的一个对称中心，故选：B.5、A【解题分析】令，由对称轴为，可得，解出，并验证即可.【题目详解】依题意，有且仅有1个实数根.令，对称轴为.所以，解得或.当时，，易知是连续函数，又，，所以在上也必有零点，此时不止有一个零点，故不合题意；当时，，此时只有一个零点，故符合题意.综上，.故选：A【题目点拨】关键点点睛：构造函数，求出的对称轴，利用对称的性质得出.6、A【解题分析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论【题目详解】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选A【题目点拨】本题考查四棱锥的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题.7、D【解题分析】利用扇形的面积公式即可求面积.【题目详解】由题设，，则扇形的面积为.故选：D8、A【解题分析】因为过点和的直线与直线平行，所以两直线的斜率相等.【题目详解】解：∵直线的斜率等于，∴过点和的直线的斜率也是，，解得，故选：A.【题目点拨】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用.9、A【解题分析】根据余弦函数的周期公式计算，即可求得答案.【题目详解】因为函数最小正周期是，故，即，解得（m）,故选：A10、B【解题分析】根据向量的坐标表示，以及向量垂直的条件列出方程，即可求解.【题目详解】由题意，向量，可得，因为，则，解得或.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积【题目详解】长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，则这个球的表面积是：故答案为：【题目点拨】本题考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力12、3【解题分析】设铜球的半径为，则，得，故答案为.13、2【解题分析】向量共线可得坐标分量之间的关系式，从而求得n.【题目详解】因为向量与共线，所以；由两者方向相同可得.【题目点拨】本题主要考查共线向量的坐标表示，熟记共线向量的充要条件是求解关键.14、②④【解题分析】图①中，直线，图②中面，图③中，图④中，面【题目详解】解：根据题意，在①中，且，则四边形是平行四边形，有，不是异面直线；图②中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；在③中，、分别是所在棱的中点，所以且，故，必相交，不是异面直线；图④中，、、共面，但面，与异面所以图②④中与异面故答案为：②④.15、1【解题分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【题目详解】先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，z最大是1，故答案为1【题目点拨】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题16、①②④【解题分析】如图所示，取中点，则，，所以平面，从而可得，故①正确；设正方形边长为，则，所以，又因为，所以是等边三角形，故②正确；分别取，的中点为，，连接，，．则，且，，且，则是异面直线，所成的角在中，，，∴则是正三角形，故，③错误；如上图所示，由题意可得：，则,由可得，据此可知：为二面角的平面角，说法④正确.故答案为：①②④.点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解题分析】（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线得到，进而得到线面平行；（2）根据二面角的定义可证得是二面角的平面角，在三角形BD中求解即可解析：（1）连接，交于点，连接.因为是三棱柱，所有四边形为平行四边形.所以是中点.因为点是的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）是二面角的平面角.事实上，因为面，面，所以.在中，，是底边的中点，所以.因为，，，所以平面，因为平面，平面，所以，，所以是二面角的平面角.在直角三角形中，，，所以为等腰直角三角形，所以.18、（1）答案见解析；（2）；（3）.【解题分析】（1）将1个红球记为个白球记为个黑球记为，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；（2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率；（3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率【小问1详解】将1个红球记为个白球记为个黑球记为，则样本空间，共15个样本点.【小问2详解】记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，则包含11个样本点，所以.【小问3详解】记事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，则包含12个样本点，所以.19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】（1）将点代入函数解析式运算即可得解；（2）利用函数单调性的定义，任取，且，通过作差证明即可得证.【题目详解】（1）的图象经过点，，即，解得，（2）证明：由（1）得任取，且，则，，，且，，即，在区间内是减函数.20、（1）；（2）.【解题分析】(1)由二次函数可设,再利用进行化简分析即可.(2)由(1)可知,对称轴为，通过讨论的范围，根据函数的单调性，求出函数的最小值.【题目详解】(1)由二次函数可设，因为,故，即,即，故,即，故；（2）函数的对