安徽省宿州市时村中学2024届数学高一上期末考试试题含解析

安徽省宿州市时村中学2024届数学高一上期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若函数满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.2．已知函数是偶函数，且，则（）A. B.0C.2 D.43．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知，则的最小值为（）A. B.2C. D.45．设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（）A. B.C. D.6．关于，，下列叙述正确的是（）A.若，则是的整数倍B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上为增函数.7．已知直线ax+by+c=0的图象如图，则()A.若c>0，则a>0，b>0B.若c>0，则a<0，b>0C.若c<0，则a>0，b<0D.若c<0，则a>0，b>08．已知函数，则下列结论错误的是（）A.的一个周期为 B.的图象关于直线对称C.的一个零点为 D.在区间上单调递减9．的定义域为（）A. B.C. D.10．已知向量，若，则（）A.1或4 B.1或C.或4 D.或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知幂函数的图象经过点，且满足条件，则实数的取值范围是___12．已知函数，其所有的零点依次记为，则_________.13．已知，，且，则的最小值为___________.14．函数，若为偶函数，则最小的正数的值为______15．已知tanα=3，则sin16．如果满足对任意实数，都有成立，那么a的取值范围是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数(且)的图象恒过点A，且点A在函数的图象上.（1）求的最小值；（2）若，当时，求的值域.18．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明在上是减函数.19．已知函数（其中），函数（其中）.（1）若且函数存在零点，求的取值范围；（2）若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.20．已知直线及点.（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.21．已知全集,集合(1)求;(2)若,且,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：，根据题中条件满足且的最小值为，所以有，所以，从而有，令，整理得，从而求得函数的单调递增区间为，故选D.点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.2、D【解题分析】由偶函数定义可得，代入可求得结果.【题目详解】为偶函数，，，故选：D3、B【解题分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【题目详解】若，则成立，即必要性成立，反之若，则不成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4、C【解题分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【题目详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：C5、C【解题分析】由条件两边平方可得，代入夹角公式即可得到结果.【题目详解】由，可得：，又是两个单位向量，∴∴∴它们的夹角等于故选C【题目点拨】本题考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围6、B【解题分析】由题意利用余弦函数的图象和性质，逐一判断各个结论是否正确，从而得出结论.【题目详解】对于A，的周期为,若，则是的整数倍,故A错误；对于B,当时，，则函数的图象关于点中心对称，B正确；对于C,当时，，不是函数最值，函数的图象不关于直线对称，C错误；对于D，，，则不单调，D错误故选：B.7、D【解题分析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上的截距分别为-，-.如图，k<0，即-<0，所以ab>0，因为->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.8、B【解题分析】根据周期求出f(x)最小正周期即可判断A；判断是否等于1或－1即可判断是否是其对称轴，由此判断B；判断否为0即可判断C；，根据复合函数单调性即可判断f(x)单调性，由此判断D.【题目详解】函数，最小正周期为故A正确；，故直线不是f(x)的对称轴，故B错误；，则，∴C正确；，∴f(x)在上单调递减，故D正确.故选：B.9、C【解题分析】由对数函数的性质及分式的性质解不等式即可得解.【题目详解】由题意得，解得，所以的定义域为.故选：C.【题目点拨】本题考查了具体函数定义域的求解，属于基础题.10、B【解题分析】根据向量的坐标表示，以及向量垂直的条件列出方程，即可求解.【题目详解】由题意，向量，可得，因为，则，解得或.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】首先求得函数的解析式，然后求解实数的取值范围即可.【题目详解】设幂函数的解析式为，由题意可得：，即幂函数的解析式为：，则即：，据此有：，求解不等式组可得实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查幂函数的定义及其应用，属于基础题.12、16【解题分析】由零点定义,可得关于的方程.去绝对值分类讨论化简.将对数式化为指数式,再去绝对值可得四个方程.结合韦达定理,求得各自方程两根的乘积,即可得所有根的积.【题目详解】函数的零点即所以去绝对值可得或即或去绝对值可得或,或当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得综上可得所有零点的乘积为故答案为:【题目点拨】本题考查了函数零点定义,含绝对值方程的解法,分类讨论思想的应用,由韦达定理研究方程根的关系,属于难题.13、【解题分析】由已知凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值【题目详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时等号成立故答案为：14、【解题分析】根据三角函数的奇偶性知应可用诱导公式化为余弦函数【题目详解】，其为偶函数，则，，，其中最小的正数为故答案【题目点拨】本题考查三角函数的奇偶性，解题时直接利用诱导公式分析即可15、3【解题分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【题目详解】∵tanα=3，∴sinα•cosα=sin故答案为310【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题16、【解题分析】根据题中条件先确定函数的单调性，再根据函数的单调性求解参数的取值范围.【题目详解】由对任意实数都成立可知，函数为实数集上的单调减函数.所以解得.故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）4；（2）.【解题分析】(1)根据对数函数恒过定点(1，0)求出m和n的关系：，则利用转化为基本不等式求最小值；(2)利用换元法令，将问题转化为二次函数求值域问题即可.【小问1详解】∵，∴函数的图象恒过点.∵在函数图象上，∴.∵，∴，，∴，，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为4.【小问2详解】当时，，∵在上单调递增，∴当时，，令，则，，在上单调递增，∴当时，；当时，.故所求函数的值域为.18、（1）（2）详见解析【解题分析】（1）既可以利用奇函数的定义求得的值，也可以利用在处有意义的奇函数的性质求，但要注意证明该值使得函数是奇函数.（2）按照函数单调性定义法证明步骤证明即可.【题目详解】解：（1）解法一：因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，整理得，所以，所以.解法二：因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得.当时，.因为，所以当时，函数是定义域为的奇函数.（2）由（1）得.对于任意的，且，则.因为，所以，则，而，所以，即.所以函数在上是减函数.【题目点拨】已知函数奇偶性求参数值的方法有：（1）利用定义（偶函数）或（奇函数）求解.（2）利用性质：如果为奇函数，且在处有意义，则有；（3）结合定义利用特殊值法，求出参数值.定义法证明单调性：（1）取值；（2）作差（作商）；（3）变形；（4）定号（与1比较）；（5）下结论.19、（1）；（2）或.【解题分析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围；（2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.【小问1详解】由题意知函数存零点，即有解.又，易知在上是减函数，又，，即，所以，所以的取值范围是.【小问2详解】的定义域为，若是偶函数，则，即解得.此时，，所以即为偶函数.又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，即方程有且只有一个实根令，则方程有且只有一个正根①当时，，不合题意，②当时，方程有两相等正根，则，且，解得，满足题意；③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，综上所述：实数的取值范围为或.【题目点拨】本题考察利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.20、(1)证明见解析，定点坐标为；(2)15x＋24y＋2＝0.【解题分析】（1）直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定点；（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大，利用点斜式求直线方程即可.试题解析：（1）证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，得，所以直线l恒过定点.（2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.又直线PA的斜率，所以直线l的斜率kl＝－.故直线l的方