上海市静安区、青浦区2024届数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析

上海市静安区、青浦区2024届数学高一上期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若tanα＝2，则的值为（）A.0 B.C.1 D.2．若，则所在象限是A.第一、三象限 B.第二、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限3．已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，(其中为的前n项和).则A.3 B.C. D.24．空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为A. B.C. D.5．设为的边的中点，为内一点，且满足，则（）A. B.C. D.6．三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是①与是异面直线；②与异面直线，且③面④A.② B.①③C.①④ D.②④7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A.4 B.C. D.28．函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象A.每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B.每个点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C.先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D.先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）9．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A. B.C. D.10．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，那么_________.12．函数的最小值为______.13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________14．已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______15．_________.16．下列说法中，所有正确说法的序号是__________①终边落在轴上角的集合是；②函数图象一个对称中心是；③函数在第一象限是增函数；④为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）计算：；（2）已知，，求证：18．已知.（1）若，且，求的值.（2）若，求的值.19．已知函数，，设（1）求的值；（2）是否存在这样的负实数k，使对一切恒成立，若存在，试求出k取值集合；若不存在，说明理由.20．已知函数的图象关于原点对称.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若函数在内存在零点，求实数的取值范围.21．设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】将目标是分子分母同时除以，结合正切值，即可求得结果.【题目详解】＝＝.故选：【题目点拨】本题考查齐次式的化简和求值，属基础题.2、A【解题分析】先由题中不等式得出在第二象限，然后求出的范围，即可判断其所在象限【题目详解】因为，，所以，故在第二象限，即，故，当为偶数时，在第一象限，当为奇数时，在第三象限，即所在象限是第一、三象限故选A.【题目点拨】本题考查了三角函数的象限角，属于基础题3、A【解题分析】由奇函数满足可知该函数是周期为的奇函数，由递推关系可得：,两式做差有：，即，即数列构成首项为，公比为的等比数列，故：，综上有：，，则：.本题选择A选项.4、A【解题分析】点，由中点坐标公式得中得为：，即.故选A.5、C【解题分析】根据，确定点的位置；再根据面积公式，即可求得结果.【题目详解】如图取得点，使得四边形为平行四边形，，故选：C.【题目点拨】本题考查平面向量的基本定理，以及三角形的面积公式，属综合中档题.6、A【解题分析】对于①，都在平面内，故错误；对于②，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形是正三角形，是中点，故与是异面直线，且，故正确；对于③，上底面是一个正三角形，不可能存在平面，故错误；对于④，所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故错误.故选A7、B【解题分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱【题目详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为故选B【题目点拨】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．熟悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力8、C【解题分析】根据函数的图象，设可得再根据五点法作图可得故可以把函数的图象先向左平移个单位，得到的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象，故选C9、B【解题分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.【题目详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；但是最终是乌龟到达终点用的时间短.故选：B【题目点拨】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.10、B【解题分析】根据图像得到，，计算排除得到答案.【题目详解】根据图像知选项：，排除；D选项：，排除；根据图像知选项：，排除；故选：【题目点拨】本题考查了三角函数图像的识别，计算特殊值可以快速排除选项，是解题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解题分析】首先根据分段函数求的值，再求的值.【题目详解】，所以.故答案为：312、【解题分析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值.【题目详解】所以令，则因此当时，取最小值，故答案为：【题目点拨】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.13、【解题分析】本题等价于在上单调递增，对称轴，所以，得．即实数的取值范围是点睛：本题考查复合函数的单调性问题．复合函数的单调性遵循“同增异减”的性质．所以本题的单调性问题就等价于在上单调递增，为开口向上的抛物线单调性判断，结合图象即可得到答案14、2【解题分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.【题目详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长，可得=4，这条弧所在的扇形面积为，故答案为.【题目点拨】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.15、【解题分析】根据诱导公式可求该值.【题目详解】.故答案为：.【题目点拨】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．本题属于基础题.16、②④【解题分析】当时，，终边不在轴上，①错误；因为，所以图象的一个对称中心是，②正确；函数的单调性相对区间而言，不能说在象限内单调，③错误；函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，④正确.故填②④三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）13；（2）证明见解析.【解题分析】（1）根据指数和对数的运算法则直接计算可得；（2）根据对数函数的单调性分别求出范围和范围可判断.【题目详解】（1）原式（2）因为在上递减，在上递增，所以，，故因为，且在递增，所以，即所以，即【题目点拨】本题考查对数函数单调性的应用，解题的关键是利用对数函数的单调性求出范围，进而可比较大小.18、（1）或（2）【解题分析】（1）诱导公式化简可得，结合，求解即可；（2）代入，结合诱导公式化简可得，即，利用二倍角公式化简可得，代入即得解【小问1详解】由题意，若，则或【小问2详解】若，则即，即故19、（1）；（2）存在，.【解题分析】（1）由题可得，代入即得；（2）由题可得函数，，为奇函数且在上单调递减，构造函数，则可得恒成立，进而可得，对恒成立，即求.【小问1详解】∵函数，，∴，∴.【小问2详解】∵，由，得，又在上单调递减，在其定义域上单调递增，∴在上单调递减，又，∴为奇函数且单调递减；∵，又函数在R上单调递增，∴函数在R上单调递减，又，∴函数为奇函数且单调递减；令，则函数在上单调递减，且为奇函数，由，可得，即恒成立，∴，即，对恒成立，故，即，故存在负实数k，使对一切恒成立，k取值集合为.【题目点拨】关键点点睛：本题的关键是构造奇函数，从而问题转化为，对恒成立，参变分离后即求.20、（1），；（2）【解题分析】（Ⅰ）题意说明函数是奇函数，因此有恒成立，由恒等式知识可得关于的方程组，从而可解得；（Ⅱ）把函数化简得，这样问题转化为方程在内有解，也即在内有解，只要作为函数，求出函数的值域即得试题解析：（Ⅰ）函数的图