湖南省长沙市天心区长郡中学2024届数学高一上期末统考试题含解析

湖南省长沙市天心区长郡中学2024届数学高一上期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，将的图象上所有点沿x轴平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，且函数的图象关于y轴对称，则的最小值是（）A. B.C. D.2．“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3．若，则的值为A.0 B.1C.-1 D.24．已知命题，，则命题否定为（）A.， B.，C.， D.，5．已知直线和直线，则与之间的距离是（）A. B.C.2 D.6．函数的图像可能是（）A. B.C. D.7．已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，(其中为的前n项和).则A.3 B.C. D.28．若点在函数的图像上，则A.8 B.6C.4 D.29．已知集合，则函数的最小值为（）A.4 B.2C.-2 D.-410．已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，，则=______；_______12．已知定义在上的偶函数，当时，若直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，则的取值范围是___________.13．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是___________.14．已知函数，且，则a的取值范围为________f（x）的最大值与最小值和为________.15．函数的定义域是______16．正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是__三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知四棱锥,其中面为的中点.（1）求证：面；（2）求证：面面；（3）求四棱锥的体积.18．已知，（1）若，求a的值；（2）若函数在内有且只有一个零点，求实数a的取值范围19．已知函数.（1）判断奇偶性；（2）当时，判断的单调性并证明；（3）在（2）的条件下，若实数满足，求的取值范围.20．设全集U＝R，集合，（1）当时，求；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围21．如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】先将解析式化简后，由三角函数图象变换得到的解析式后求解.【题目详解】若向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到，由题意得，的最小值为；若向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到，同理得的最小值为，故选：B2、B【解题分析】根据指数函数的性质求的解集，由充分、必要性的定义判断题设条件间的关系即可.【题目详解】由，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B3、A【解题分析】由题意得a不等于零，或,所以或,即的值为0，选A.4、D【解题分析】根据全称命题的否定是特称命题形式，直接选出答案.【题目详解】命题，，是全称命题，故其否定命题为：，，故选：D.5、A【解题分析】利用平行线间的距离公式计算即可【题目详解】由平行线间的距离公式得故选：A6、D【解题分析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，当时，∴，所以排除B，当时，∴，所以排除C，故选D.考点：函数图象的平移.7、A【解题分析】由奇函数满足可知该函数是周期为的奇函数，由递推关系可得：,两式做差有：，即，即数列构成首项为，公比为的等比数列，故：，综上有：，，则：.本题选择A选项.8、B【解题分析】由已知利用对数的运算可得tanθ，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系的运用化简即可求值【题目详解】解：∵点（8，tanθ）在函数y＝的图象上，tanθ，∴解得：tanθ＝3，∴2tanθ＝6，故选B【题目点拨】本题主要考查了对数的运算性质，倍角公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题9、D【解题分析】因为集合，所以，设，则，所以，且对称轴为，所以最小值为，故选D10、A【解题分析】利用指数函数的单调性比较的大小，再用作中间量可比较出结果.【题目详解】因为指数函数为递减函数,且,所以，所以，因为，，所以，综上所述：.故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①.②.【解题分析】首先指对互化，求，再求；第二问利用指数运算，对数，化简求值.【题目详解】，，所以；,，所以故答案为：；12、【解题分析】先作出函数的大致图象，由函数性质及图象可知八个根是两两关于轴对称的，因此分析可得,，进而将转化为形式，再数形结合，求得结果.【题目详解】作出函数的图象如图：直线与函数的图象恰有八个交点，其横坐标分别为，，，，，，，，不妨设从左到右分别是，，，，，，，，则，由函数解析式以及图象可知：，即，同理：；由图象为偶函数，图象关于轴对称可知：，所以又因为是方程的两根，所以，而，所以，故，即，故答案为：13、【解题分析】需要满足两个不等式和对都成立.【题目详解】和对都成立,令，得在上恒成立，当时，只需即可，解得；当时，只需即可，解得（舍）；综上故答案为：14、①.②.2【解题分析】由结合，即可求出a的取值范围；由，知关于点成中心对称，即可求出f（x）的最大值与最小值和.【题目详解】由，，所以，则故a的取值范围为.第（2）空:由，知关于点成中心对称图形，所以.故答案为：；.15、【解题分析】，即定义域为点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)16、（，+∞）【解题分析】由正三棱锥可得四边形EFGH为矩形，并可得其边长与三棱锥棱长关系，从而可得面积S的范围.【题目详解】∵棱锥P﹣ABC为底面边长为1的正三棱锥∴AB⊥PC又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，∴EH//FG//AB且EH＝FGAB，EF//HG//PC且EF＝HGPC则四边形EFGH为一个矩形又∵PC，∴EF，∴S=EFEH，∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（，+∞），故答案为:（，+∞）三、三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解题分析】（1）取中点，连接，根据三角形的中位线，得到四边形为平行四边形，进而得到，再结合线面平行的判定定理，即可证明面；（2）根据为等边三角形，为的中点，面，得到，根据线面垂直的判定定理得到面，则面，再由面面垂直的判定定理，可得面面；（3）连接，可得四棱锥分为两个三棱锥和，利用体积公式，即可求解三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：取中点，连接分别是的中点，,且与平行且相等，为平行四边形，，又面面面.（2）证明：为等边三角形，,又面面垂直于面的两条相交直线面面面面面.（3）连接,该四棱锥分为两个三棱锥和.18、（1）（2）【解题分析】(1)由即可列方程求出a的值；(2)化简f(x)解析式，利用进行换元，将问题转化为在内有且只有一个零点，在上无零点进行讨论.【小问1详解】由得，即，，解得，∵，∴；【小问2详解】，令，则当时，，，，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，在上无零点.∵a＞1，在内为增函数.①若在内有且只有一个零点，内无零点，故只需，解得；②若为的零点，内无零点，则，得，经检验，符合题意综上，实数a的取值范围是19、（1）奇函数（2）增函数，证明见解析（3）【解题分析】（1）求出函数的定义域，再判断的关系，即可得出结论；（2）任取且，利用作差法比较的大小即可得出结论；（3）根据函数的单调性列出不等式，即可得解，注意函数的定义域.【小问1详解】解：函数的定义域为，因为，所以函数是奇函数；小问2详解】解：函数是上单调增函数，证：任取且，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数是上的单调增函数；【小问3详解】解：由（2）知函数是上的单调增函数，所以，解得，所以的取值范围为.20、（1）或（2）【解题分析】（1）化简集合B，根据补集、并集的运算求解；（2）由条件转化为A⊆B，分类讨论，建立不等式或不等式组求解即可.【小问1详解】当时，，，或，或【小问2详解】由A∩B＝A，得A⊆B，当A＝∅时，则3a＞a+2，解得a＞1，当A≠∅时，则，解得，综上，实数a的取值范围是21、（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）详