上海市上师大附中 2024届高一上数学期末学业质量监测试题含解析

上海市上师大附中2024届高一上数学期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，则的值是A.-24 B.-15C.-6 D.122．若，，，则（）A. B.C. D.3．已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.4．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（）A. B.C. D.5．若sin（），α是第三象限角，则sin（）＝（）A. B.C. D.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B.8C.20 D.247．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则的最大值是()A. B.2C.4 D.8．函数的最小正周期是（）A.π B.2πC.3π D.4π9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为()A. B.C. D.10．已知偶函数在单调递减，则使得成立的的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，，则______12．过正方体的顶点作直线，使与棱、、所成的角都相等，这样的直线可以作_________条.13．为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3:2，则全校抽取学生数为________14．函数的定义域为________15．已知扇形的周长是2022，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是___________.16．已知且，则=______________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数为定义在上的奇函数.（1）求的值域；（2）解不等式：18．已知向量，（1）若与垂直，求实数的值；（2）求向量在方向上的投影19．已知函数（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）求不等式的解集20．已知函数，，且.（1）求的值；（2）求的定义域；（3）求不等式的解集.21．已知集合，或（1）当时，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】∵函数，∴，故选C2、A【解题分析】先变形，然后利用指数函数的性质比较大小即可【题目详解】，因为在上为减函数，且，所以，所以，故选：A3、D【解题分析】对A，B，C，利用特殊值即可判断，对D，利用不等式的性质即可判断.【题目详解】解：对A，令，，此时满足，但，故A错；对B，令，，此时满足，但，故B错；对C，若，，则，故C错；对D，，则，故D正确.故选：D.4、B【解题分析】构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.【题目详解】，令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，所以可以取的一个区间是.故选：B5、C【解题分析】由α是第三象限角，且sin（），可得为第二象限角，即可得，然后结合，利用两角和的正弦公式展开运算即可.【题目详解】解：因为α是第三象限角，则，又sin（），所以，即为第二象限角，则，则，故选：C.【题目点拨】本题考查了角的拼凑，重点考查了两角和的正弦公式，属基础题.6、C【解题分析】由三视图可知，该几何体为长方体上方放了一个直三棱柱，其体积为：.故选C点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图7、B【解题分析】,则,则的最大值是2,故选B.8、A【解题分析】化简得出，即可求出最小正周期.【题目详解】，最小正周期.故选：A.9、B【解题分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可【题目详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B10、C【解题分析】∵函数为偶函数，∴∵函数在单调递减∴，即∴使得成立的的取值范围是故选C点睛：这个题目考查的是抽象函数的单调性和奇偶性，在不等式中的应用.解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】利用指数的运算性质可求得结果.【题目详解】由指数的运算性质可得.故答案为：.12、【解题分析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【题目详解】解：设ABCD﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是满足条件的直线；第三条：延长C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是满足条件的直线；第四条：延长C1A1到C4且C4A1，AC4是满足条件的直线故答案为4【题目点拨】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题13、80【解题分析】频率分布直方图中，先根据小矩形的面积等于这一组的频率求出四与第五组的频率和，再根据条件求出前三组的频数，再依据频率的和等于1，求出前三组的频率，从而求出抽取的男生数，最后按比例求出全校抽取学生数即可【题目详解】根据图可知第四与第五组的频率和为（0.0125+0.0375）×5=0.25∵从左到右前三个小组频率之比1：2：3，第二小组频数为12∴前三个小组的频数为36，从而男生有人∵全校男、女生比例为3：2，∴全校抽取学生数为48×=80故答案为80【题目点拨】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识14、【解题分析】根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【题目详解】依题意，解得，故函数的定义域为.故答案为.【题目点拨】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.15、2【解题分析】设扇形的弧长为，半径为，则，将面积最值转化为一元二次函数的最值；【题目详解】设扇形的弧长为，半径为，则，，当时，扇形面积最大时，此时，故答案为：16、3【解题分析】先换元求得函数，然后然后代入即可求解.【题目详解】且，令，则，即，解得，故答案为：3.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）根据函数的奇偶性可得，进而可得函数的单调性及值域；（2）由（1）可得该不等式为，根据函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】由题意可知，，解得，则，经检验，恒成立，令，则，函数在单调递增，函数的值域为【小问2详解】由（1）得，则，，，不等式的解集为.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）利用坐标运算表示出，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得结果；（2）根据可直接求得结果.【题目详解】（1）与垂直，解得：（2）向量在方向上的投影为：【题目点拨】本题考查向量垂直关系的坐标表示、向量在方向上的投影的求解；关键是能够由向量垂直得到数量积为零、能熟练掌握投影公式，从而利用向量坐标运算求得结果.19、（1）；（2）奇函数；证明见解析；（3）【解题分析】（1）利用对数的性质可得，解不等式即可得函数的定义域.（2）根据奇偶性的定义证明的奇偶性即可.（3）由的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.【题目详解】（1）要使有意义，则，解得：∴的定义域为.（2）为奇函数，证明如下：由（1）知：且，∴为奇函数，得证（3）∵在内是增函数，由，∴，解得，∴不等式的解集是.20、（1）；（2）或；（3）或.【解题分析】（1）根据的解析式，结合，即可求得；（2）根据对数的真数大于零，求解一元二次不等式，即可求得结果；（3）根据对数函数的单调性，结合函数定义域，即可求得不等式解集.【小问1详解】由题可知，又因为，即，所以.【小问2详解】由知，，若使有意义，只须，解得或，所以函数