2023-2024学年四川省乐山市沙湾区沫若中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省乐山市沙湾区沫若中学高二（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知扇形的半径为1，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为(

)A.π6 B.π3 C.2π2.复数2i−1的虚部是A.1 B.−1 C.i D.3.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是(

)A.抛一枚硬币，出现正面朝上

B.掷一个正方体的骰子，出现3点朝上

C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球4.已知α是第二象限角，则(

)A.α2是第一象限角 B.sinα2>0

C.5.如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是(

)A.10km B.20km C.6.已知sinα+cA.−25 B.52 C.−7.已知平面向量a,b的夹角为π3，且|a|=1,A.5π6 B.2π3 C.8.如图，在△ABC中，AN=2NC，P是BNA.16

B.13

C.14二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知一组数据为：3，4，6，7，7，5，5，4，5，4，则这组数据的(

)A.平均数为5 B.众数为5 C.中位数为5.5 D.方差为810.先后两投掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是5”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“第一次郑出的点数是5”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则(

)A.A与C互斥 B.P(D)=34 C.B与D对立11.给出下列命题，其中假命题为(

)A.两个具有共同终点的向量，一定是共线向量

B.若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件

C.若a与b同向，且|a|>|b|，则12.科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，均可按y=sinωx(ω>0)进行变化A.第35天时情绪曲线E处于最高点

B.第33天到第42天时，智力曲线I与情绪曲线E不相交

C.第46天到第50天时，体力曲线P处于上升期

D.体力曲线P关于点(320三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学校高中一年级有男生500人，女生400人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，则所抽取的女生人数为______．14.已知平面向量a=(3,1)，b=(−1,15.已知cos(75°+α2)16.在△ABC中，AB=4，B=π3四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知cosα=−35，且α是第二象限角．

(1)求si18.(本小题12.0分)

已知平面向量a、b，a=(1,−3)，|b|=1，且a与b的夹角为π3．

(1)求a⋅b19.(本小题12.0分)某校对2021年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照30,50,50,70，70,90(1(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在50,70和70,90的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2.名学生进行问卷调查，求抽取的这20.(本小题12.0分)

与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=1−2sin2ωx+sin2ωx(0<ω<3)，且_____．

从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：

①函数f(x)图象中相邻的两条对称轴之间的距离为π2；

②函数f(x)22.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2−c2−12bc=abc答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由题意可得扇形的半径为1，圆心角为π3，

则这个扇形的弧长L=1×π3=π32.【答案】B

【解析】解：2i−1=2(−1−i)3.【答案】D

【解析】解：选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错；

选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为16，不符合，故B错；

选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为14，不符合，故C错；

选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为13，在0.3到0.4之间，符合题意，故D对．

故选：D．

由折线图可知，频率在0.3到0.44.【答案】D

【解析】解：对于A，∵a是第二象限角，

∴π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，

∴π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z，

∴α2是第一象限或第三象限角，故错误；

对于B，由A可知α2是第一象限或第三象限角，故错误；

对于C，∵a是第二象限角，

∴π+4kπ<2α<2π+4kπ，k∈Z，

∴2α是第三象限或第四象限角，sin5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了正弦定理与解三角形的实际应用，熟练掌握正弦定理是解题的关键，属于基础题．

在三角形ABP中，利用正弦定理求出BP的长，即为这时船与灯塔的距离．

【解答】

解：根据题意，可得∠PAB=∠PBA=30°，且AB=306.【答案】B

【解析】解：因为sinα+cosα=355，

即sin2α+27.【答案】B

【解析】解：由平面向量a,b的夹角为π3，且|a|=1,|b|=2，

可得(2a−b)⋅b=2a⋅b−b2=2×1×2cosπ3−48.【答案】C

【解析】解：设BP=λBN，

则AP=AB+BP=AB+λBN=AB+9.【答案】AD【解析】解：将数据从小到大排列：3，4，4，4，5，5，5，6，7，7．

平均数为x−=3+4+4+4+5+5+5+6+7+710=10.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了互斥事件，对立事件，独立事件的概念，以及古典概型求概率，难度不大．

互斥事件是两个事件不能同时发生，对立事件是两个事件不能同时发生且一定有一个发生，两事件独立是两事件是否发生没有关系．投掷两次至少出现一个奇数点，包括出现一次奇数点一次偶数点和两次都是奇数点两种情况．【解答】

解：两次掷出的点数之和是5与第一次郑出的点数是5不能同时发生，所以A与C互斥，选项A正确．

投掷两次至少出现一个奇数点，包括出现一次奇数点一次偶数点和两次都是奇数点两种情况，对立面为两次都是偶数，

先后两投掷一枚质地均匀的骰子，则基本事件数有36种，

两次都是偶数，基本事件数为：

(2,2)，(2,4)，(4,2)，(2,6)，(6,2)，(4,4)，(4,6)，(6,4)，(11.【答案】AC【解析】解：两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，故它们不一定是共线向量，故A错误．

若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，故B正确．

若a与b同向，且|a|>|b|，则a与b不能比较大小，故C错误．

λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b12.【答案】AC【解析】解：设智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P的周期分别为T1，T2，T3，则T1=33，T2=28，T3=23，

所以ω1=2π33，ω2=2π28=π14，ω3=2π23，

所以三种曲线对应的解析式分别为f(x)=sin2π33x，g(x)=sinπ14x，h(x)=sin2π23x，

选项A，g(35)=sin(π14⋅35)=sin5π2=1，即A正确；

选项B，设F(x)=f(x)−g(x)=sin2π33x13.【答案】20

【解析】解：从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，其抽样比例为45500+400=120，

所以抽取的女生人数为400×12014.【答案】−2【解析】解：a=(3,1)，b=(−1,1)，c=(x,−6)，15.【答案】13【解析】解：cos(75°+α2)=sin(90°−16.【答案】(0【解析】解：根据正弦定理得4sinC=bsinπ3，即4sin[π−(A+π3)]=bsinπ3，

∴b=2317.【答案】解：(1)因为α是第二象限角，cosα=−35，

所以sinα=1【解析】(1)由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．

(218.【答案】解：(1)由a=(1,−3)，有|a|=1+3=2，

∴a⋅b=|a|⋅【解析】(1)求出|a|=2，根据数量积的定义即可求得答案；

(2)19.【答案】解：(1)由0.005×20+0.005×20+0.0075×20+0.02×20+a×20+0.0025×20=1，

可得a=0.01，

数学成绩在：[30,50)频率0.0050×20=0.1，[50,70)频率0.0050×20=0.1，

[70,90)频率0.0075×20=0.15，[90,110)频率0.0200×20=0.4，

[110,130)频率0.0100×20=0.2，[130,150]频率0.0025×20=0.05，

样本均值为：40×0.1+60×0.1+80×0.15+100×0.4+120×0.2+140×0.05=93，

可以估计样本数据中数学成绩均值为

93

分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩

93

分．

(2)由(1)知样本数据中数学考试成绩在

110

分以下所占比例为0.1+0.1+0.15【解析】本题考查平均分、百分位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

(1)由频率分布直方图列方程，能求出a=0.01，由此能求出样本均值，从而估计样本数据中数学成绩均值，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩．

(2)由样本数据中数学考试成绩在

110

分以下所占比例为0.75，在

130

分以下所占比例为0.95，由此能估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数．

(3)由题意[50,70)分数段的人数为10人，[70,90)分数段的人数为15人，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，需在[50,70)内抽取2人，分别记为A120.【答案】解：(1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，

则P(A)=23，P(A−)P(C−)=115，P(A)=23,P(A−)P(C−)=115,【解析】(1)根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；

(221.【答案】解：(1)选①函数f(x)图象中相邻的两条对称轴之间的距离为π2，因此函数f(x)的周期T=π，

有2ω=2πT=2，

依题意，f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+π4)，

则有f(x)=2sin(2x+π4)，

由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z得：kπ−3π8≤x≤kπ+π