2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.给出下列关系：

①π∈R；

②{2024,1}={x|A.1 B.2 C.3 D.42.已知A={x∈R|x2−xA.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3.已知扇形弧长为π3，圆心角为2，则该扇形面积为(

)A.π218 B.π236 C.4.已知函数f(x)=lA.83 B.−83 C.65.已知三次函数y=f(x)的图像如图所示，若f′(x)是函数fA.{x|1<x<2或x>4}

6.已知函数f(x)=−x2+A.a=±1 B.a=54 C.7.拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导，则必有一ξ∈(a,bA.1 B.e C.1e D.8.设a=sinπe,bA.a<c<b B.b<a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知实数x，y满足1<x<6，2A.3<x+y<9 B.−10.已知函数f(x)=x3A.f(x)的图象关于点(0,2)对称

B.f(x)的极值之和为−4

C.∃a∈11.已知函数f(x)=A.若f(x)值域为R，则a≥89 B.若f(x)定义域为R，则a∈(0,89)12.已知函数f(x)=A.函数f(x)的值域为(−∞,2]

B.函数f(x)的单调减区间为(−∞,1)，(2,+∞)

C.若关于三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题“p：∃x∈R，ax2−ax≥14.f(x)=2ln15.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)为奇函数，f(x+1)16.已知函数f(x)=lnx+(x−2a)2四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为35，−513．

(1)求cos(18.(本小题12.0分)

在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为(v10)3+1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．

(119.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=(2−x)ex．

(1)求函数20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ex−ax2．

(1)若函数f(x21.(本小题12.0分)

如图，在四棱椎P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=BD=1，AB22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=alnx−2x(a≠0)．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：对于①，∵π是实数，∴π∈R，故①正确；

对于②，解方程x2−2025x+2024=0，得x1=1，x2=2024，

∴{2024,1}={x|x2−2025x+2024=0}，故②正确；

对于③，⌀是{0}的子集，∴⌀⊆{0}，故③错误；

对于④，∴2.【答案】A

【解析】解：充分性：若a=b，显然两集合对应的不等式相同，可得A=B，即充分性成立；

必要性：若A=B，当A，B都为空集时，此时只需要满足1−4a<0且1−4b<0即可，

不妨取a=1，b=2，此时满足A=B=⌀，但3.【答案】B

【解析】解：设扇形的半径为r，

由弧长公式可得，π3=2r，解得r=π6，

则该扇形的面积为：12×4.【答案】B

【解析】解：函数f(x)=lnx+3x，

则f′(5.【答案】D

【解析】解：由图象可知，f(7)=0，当x∈(−∞,1)∪(4,+∞)时，f′(x)<0，当x∈(1,4)时，f′(x)>6.【答案】A

【解析】解：当x>2时，f(x)=a−x+42−x=2−x+42−x+a−2=a−2−[(x−2)+4x−2]≤a−2−2(x−2)⋅4x−27.【答案】C

【解析】解：因为函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导，

则必有一ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a，

又函数f(x)=−x−1ex，

可得f′(x)=−ex−(x+1)exe2x=xex，

所以f′(ξ)=ξeξ，

此时f(b)−f(8.【答案】D

【解析】解：a=sinπe>sinπ3=32，

设f(x)=lnxx，函数定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−lnxx2，

x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e,+∞)上单调递减，得f(π)<f(e)，

即l9.【答案】AC【解析】解：实数x，y满足1<x<6，2<y<3，

由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3<x+y<9，2<xy<18，AC选项正确；

由−310.【答案】AC【解析】解：对于A：函数f(x)=x3−(3a2−6a)x+2图象可由奇函数g(x)=x3−(3a2−6a)x图象向上平移2两个单位长度得到，

所以f(x)图象关于(0,2)对称，故A正确；

对于B：因为f(x)=x3−(3a2−6a)x+2，

所以f′(x)=3x2−(3a2−6a)，

令f′(x)=0得x2=a2−2a，

若f(x)有两个极值点，则a2−2a>0，

解得a>2或a<0，

所以f(x)的极值点x=−a2−2a，x=a2−2a，

所以f(x)的极小值为f(−a2−2a)，f(x)的极大值为f(a2−2a)，

由A可知f(x)图象关于(0,2)对称，

所以f(x)的极值之和为4，故B错误；

对于C：由B得，f(x)的极小值为正数，极大值为负数，

所以f(x11.【答案】AC【解析】解：对于A，若函数f(x)=log13(ax2−3ax+2)的值域为R，则t=ax2−3ax+2的取值范围包含区间(0,+∞)，

可得a>0且Δ=9a2−8a≥0，解得a≥89，故A正确；

对于B，若函数f(x)=log13(ax2−3ax+2)12.【答案】BD【解析】解：由题意，当x≥1时，f(x)=x−1ex−2≥0，可得f′(x)=ex−2−(x−1)⋅ex−2(ex−2)2=2−xex−2，

所以当x∈[1,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，且f(x)>0，

所以f(x)max=f(2)=1，

当x<1时，可得f(x)=2xx−1=2+2x−1，

可得f(x)在(−∞,13.【答案】(−【解析】解：命题“￢p：∀x∈R，ax2−ax<1”为真命题，则不等式ax2−ax−1<0恒成立．

当a=0时，−14.【答案】3x【解析】解：由f(x)=2lnx−f′(2)x，得f′(x)=2x−f′(2)，∴f15.【答案】−3【解析】解：定义在R上的函数f(x)满足f(x)为奇函数，f(x+1)为偶函数，

故函数的图象关于原点对称，还关于x=1对称，

即f(−x)=−f(x)，f(2−x)=16.【答案】[4【解析】解：∵f(x)=lnx+(x−2a)2，

∴f′(x)=1x+2(x−2a)=2x2−4ax+1x，x>0，

∵函数f(x)的两个极值点为x1，x2，

∴x1，x2是方程2x2−4ax+1=0的两个实根，且x1<x2，

∴x1+x2=2a，x1⋅x2=12，Δ=16a2−8>17.【答案】解：(1)因锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B，且点A，B的横坐标分别为35，−513，

显然，点A在第一象限，点B在第二象限，则点A，B的纵坐标分别为45，1213，

由已知及三角函数定义得sinα=45，sinβ=1213，而cosα=【解析】(1)根据给定条件求出点A，B的纵坐标，再借助三角函数定义计算两个角的正弦与余弦，结合差角的余弦公式，代入计算作答．

(2)利用(118.【答案】解：(1)由题意，下潜用时60v(单位时间)，用氧量为[(v10)3+1]×60v=3v250+60v(升)，

水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升)，返回水面用时60v2=120v(单位时间)，用氧量为120v×1.5=180v(升)【解析】(1)分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；

(2)利用基本不等式可得v=10319.【答案】解：(1)∵f(x)=(2−x)ex，

∴f′(x)=−ex+(2−x)ex=(1−x)ex，

当−1<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当1<x<2时，f′(x)【解析】(1)求导，结合函数的单调性可得函数的最值；

(2)构造函数g(20.【答案】解：(1)设直线y=x−1与函数f(x)的图象相切于点(x0,y0)，

∵f′(x)=ex−2ax，

∴ex0−2ax0=1，y0=x0−1，y0=ex0−ax02，

可得ex0−ax02=x0−1，易知x0≠0．

由ex0−2ax0=1得a=ex0−12x0，

代入上式可得ex0−ex0−12x0⋅x02=x0−1，

即2ex0−x0ex0+x0=2x0−2，即(2−x0)ex【解析】(1)设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于a的方程组，解之即可；

(2)由题意可得ex−ax2−x21.【答案】解：(1)证明：∵AD=BD=1,AB=2，∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，

∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC⊥BD，

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，

∵BD∩PD=D，且BD，PD⊂面PBD，∴BC⊥平面PBD，

∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；

(2)由(1)知，BD⊥AD，且PD⊥平面ABCD，

故以D为原点，DA，DB，DP分别为x轴，y【解析】(1)先由长度之间关系证明BD⊥BC，再证明BC⊥平面PBD，根据面面垂直判定定理即可证明结论；

(2)先建立空间直角坐标，设PM=λ22.【答案】解：(1)函数f(x)=alnx−2x(a≠0)，且f′(x)=ax−2=a−2xx，

当a<0时，因为x>0，则f′(x)<0，

所以函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，

当a>0时，由f′(x)