大学数学竞赛课件04

大学数学竞赛课件04大学数学竞赛课件04中国大学生数学竞赛第四届：2012年—四川成都电子科技大学第五届：2013年—安徽合肥中国科技大学第六届：2014年—湖北武汉华中科技大学中国大学生数学竞赛第四届：2012年—四川成都电子科数学竞赛讲座体操能使你身体健康,数学能使你思想正确而敏捷,有了它,你们才能爬上科学的大山.____华罗庚____解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获,就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法,无论是从别人那里学来或听来的,只要经过你自己的体验,它对你来讲可以成为一种楷模,当你在碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。

_____乔冶.波利亚____数学竞赛讲座体操能使你身体健康,数学能使你思想正确而敏捷,有(一）函数

♀利用已知条件，求函数的表达式★第一讲：函数、极限和连续(一）函数♀利用已知条件，求函数的表达式★第一讲：函数、例1（04年江苏省竞赛题）简答因奇函数，则当时，因周期函数，则当时，例1（04年江苏省竞赛题）简答因奇函数，则当设函数在上有定义，在区间上，，若对任意的都满足，（1）写出在表达式；在处，是否可导？（2）判断上的练习题（94年北京市竞赛题）简答设函数在上有定义，在区间上，，若对任意的都满足，（1）写出在例2（91年北京市竞赛题）设是可导的函数，对于任意实数，，有，且，求的表达式。求满足方程的表达式，其中，为任意实数，且已知。简答课下练习（2010年X校竞赛）例2（91年北京市竞赛题）设是可导的函数，对于任意例3设，求，，，。，简答例3设，求，，，。，简答♀函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及单调性判断函数在内有界：常利用在内连续，且，存在，则有界。有界性例4A♀函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及单调性判断函数在奇偶性单调性周期性★奇偶性单调性周期性★(二）极限

♀补充重要的结论例5（06考研）提示(二）极限♀补充重要的结论例5（06考研）提示♀求极限的几种重要方法1、利用四则运算法则例6（98北京市竞赛题，10天津市竞赛题）提示练习（93南京大学竞赛题）提示思考题（98江苏省竞赛题）答案1例7（00北京市竞赛题）♀求极限的几种重要方法1、利用四则运算法则例6（98北京市竞2、利用两个重要极限公式例8例9（02考研）设常数，则____________简答简答2、利用两个重要极限公式例8例9（02考研）例10（09年全国竞赛题），其中是给定的正整数。简答思考题（95南京大学竞赛题）答案e2例10（09年全国竞赛题），其中是给定的正整数。简答思考3、利用等价无穷小代换简化计算例11简答常用的等价无穷小注意：作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小代换3、利用等价无穷小代换简化计算例11简答常用的等价无穷小注意例12

（国外高校竞赛题）简答

（04年考研题）例13简答例12（国外高校竞赛题）简答（04年考研题）例13简答4、利用洛必达法则（2）等价无穷小代换（3）求极限的式子中，含有极限存在且不为0的因式，应用极限的四则运算法则，应及时将它的极限拿到极限符号外（1）先考虑对求极限的式子进行代数或三角变形，再考虑结合（2）和（3）应用洛必达法则时，常需要与下列方法相结合，以简化计算思考题答案e24、利用洛必达法则（2）等价无穷小代换（3）求极限的式子中，例15（08考研）求极限例14

(97考研)求极限简答简答例15（08考研）求极限例14(97考研)求极限简答简答5、利用夹逼准则例16：设为正数，求思考题：1.设则(08考研）答案：1简答5、利用夹逼准则例16：设为正数，求思考题：1.设6、利用单调有界准则例18：（06年考研题）设数列满足（1）证明：存在，并求该极限；（2）计算（1）用归纳法证明单调下降且有下界（2）用重要极限和洛必达法则提示证明极限存在并求极限，，，…….例17:6、利用单调有界准则例18：（06年考研题）设数列例20（04天津市竞赛）练习：（10天津市试题）设，，证明：存在并求其值。例19（00北京市竞赛题）例20（04天津市竞赛）练习：（10天津市试题）设，，证明：

练习题：

（88北京市竞赛题）设求证存在，并求其值7、利用极限的定义求极限

例21：

（08江苏省竞赛题）设求证存在，并求其值练习题：（88北京市竞赛题）设求证存在，并求其值7、利用8、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）练习：思考题：（国外高校竞赛题）特点：用洛必达法则较复杂时，或者根本不可能用关键：展开到含xn项，或者不相互抵消的那一项止要熟记常用的展开式例23：例22(10年天津市)8、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）练习：思考题：9、利用中值定理例24：练习题：思考题：例25：答案2答案ln29、利用中值定理例24：练习题：思考题：例25：答案210、利用导数的定义

例27

（96南京大学竞赛题）例26：11、利用连续的定义练习题设在点处连续，且，求。答案210、利用导数的定义例27（96南京大学竞赛题）例26：12、利用定积分的定义（略讲）例28：求练习：求例29：求练习：求（09天津市竞赛）12、利用定积分的定义（略讲）例28：求练习：求例29：求练14、利用函数极限与数列极限的关系求极限练习题：（99年北京市竞赛）例31：求15、利用左、右极限练习题例32(08江苏省竞赛题)13、利用定积分性质和积分中值定理（略讲）例30：（93北京市竞赛）14、利用函数极限与数列极限的关系求极限练习题：（99年北京练习题（00北京市竞赛）________16、要注意变量代换的应用17、利用级数收敛的必要条件（11章）（略）♀无穷小阶的比较例33：（01考研）设当时，是比高阶无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于（）练习题（00北京市竞赛）________16、要注意变量代换例34（08江苏省竞赛题）思考题（03天津市竞赛题）D例34（08江苏省竞赛题）思考题（03天津市竞赛题）D♀已知极限，来确定未知的东西例35：（08考研）已知连续，且，则__________例36：（06考研）试确定值，使得其中是当时，比高阶的无穷小。例37：（01考研）已知在内可导，且，，求的值。答案2答案1/2设

,若则a,b的值.（11天津）-2,-4♀已知极限，来确定未知的东西例35：（08考研）连续，且，则例38：（94考研），其中，则必有（）例39：设在的某邻域内二阶可导，且求，，及D设是连续函数，且，则.11天津市竞赛题思考题：例38：（94考研），其中，则必有（）例39：设在(三）连续

♀判定函数在一点的连续性练习：（03考研）设函数问：a为何值时，在处连续，a为何值时，是的可去间断点。例40：设连续，求a,b.(三）连续♀判定函数在一点的连续性练习：（03考研）设函数例43例43令，有，得或当a=-1时，，即f(x)在x=0处连续.，因而x=0是f(x)的可去间断点当a=-2时，令，有，得或当a=-1时，，即f(x)在x=0处连续.，因♀函数的间断点及其类型（找的方法及类型的判别）第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点

.♀函数的间断点及其类型（找的方法及类型的判别）第一类间断点:例41例41练习：（07考研）函数在上第一类间断点是x=()(A)0(B)1(C)(D)♀关于闭区间上连续函数的性质的证明题（放到中值定理部分）例42：（01考研）求极限，记此极限为，求函数的间断点并指出其类型。练习：（07考研）函数一元函数微分学高数竞赛选修课之一元函数微分学高数竞赛选修课之·极限·导数与微分·连续与间断主要内容：·极限·导数与微分·连续与间断主要内容：7.泰勒公式（麦克劳林公式）：求极限的方法7.泰勒公式（麦克劳林公式）：求极限的方法8.定积分定义：9.单调有界定理：10.其他：级数收敛的必要条件，通分，有理化，倒代换…求极限的方法8.定积分定义：9.单调有界定理：10.其他：级数收敛题题题题题题题题题题题题题题题题题题题题题题题题连续与间断连续：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间上连续函数的性质：有界性最值性介值性——零点定理连续与间断连续：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间55间断点：不连续点第一类间断点可去间断点：跳跃间断点：第二类间断点间断点类型：连续与间断间断点：不连续点第一类间断点可去间断点：跳跃间断点：第二类间导数与微分

导数：微分：函数的性质关系：（一阶微分具有形式不变性）导数的几何意义：切线斜率可微可导连续极限存在导数与微分导数：微分：函数的性质关系：（一阶微导数的计算1.基本初等函数的导数公式2.导数的四则运算法则3.复合函数的导数4.隐函数的导数5.参数方程所确定函数的导数6.反函数的导数7.高阶导数导数的计算1.基本初等函数的导数公式2.导数的四则运算法微分中值定理罗尔中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：微分中值定理罗尔中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：导数的应用1.讨论函数的单调性3.求函数的极值点和极值2.讨论函数图形的凹凸性，求拐点和渐近线4.求函数的最值，解决简单应用问题5.求曲线在一点的曲率和曲率半径导数的应用1.讨论函数的单调性3.求函数的极值点和极值2题题题题题题题题题题题题题题题题湘潭大学数学与计算科学学院王文强691.4综合习题讲解

湘潭大学数学与计算科学学院王文强691.4综合习湘潭大学数学与计算科学学院王文强70一、填空题解可得所以a=2.湘潭大学数学与计算科学学院王文强70一、填空题解湘潭大学数学与计算科学学院王文强71解所以湘潭大学数学与计算科学学院王文强71解所以湘潭大学数学与计算科学学院王文强72所以湘潭大学数学与计算科学学院王文强72所以湘潭大学数学与计算科学学院王文强73解

f[f(x)]=1.解原式湘潭大学数学与计算科学学院王文强73解f[f(x)]湘潭大学数学与计算科学学院王文强74解湘潭大学数学与计算科学学院王文强74解湘潭大学数学与计算科学学院王文强75所以k－1=1990,即k=1991;解湘潭大学数学与计算科学学院王文强75所以k－1=19湘潭大学数学与计算科学学院王文强76二、计算题1.求下列极限解湘潭大学数学与计算科学学院王文强76二、计算题1.湘潭大学数学与计算科学学院王文强77湘潭大学数学与计算科学学院王文强77湘潭大学数学与计算科学学院王文强78湘潭大学数学与计算科学学院王文强78湘潭大学数学与计算科学学院王文强792.求下列极限按照等价无穷小代换湘潭大学数学与计算科学学院王文强792.求下列极限按湘潭大学数学与计算科学学院王文强80解方法1：湘潭大学数学与计算科学学院王文强80解方法1：湘潭大学数学与计算科学学院王文强81湘潭大学数学与计算科学学院王文强81湘潭大学数学与计算科学学院王文强82方法2：Taylor展开湘潭大学数学与计算科学学院王文强82方法2：Taylo湘潭大学数学与计算科学学院王文强83湘潭大学数学与计算科学学院王文强83湘潭大学数学与计算科学学院王文强84(3)解湘潭大学数学与计算科学学院王文强84(3)解湘潭大学数学与计算科学学院王文强85(4)解湘潭大学数学与计算科学学院王文强85(4)解湘潭大学数学与计算科学学院王文强86所以解又因为(5)湘潭大学数学与计算科学学院王文强86所以解又因为(5)湘潭大学数学与计算科学学院王文强87三、证明题例1

设f(x)在[a,b]上连续,且f(a)<a,f(b)>b,试证在(a,b)内至少存在一个

,使f(

)=

.证假设F(x)=f(x)

－x,F(a)=f(a)－a<0,F(b)=f(b)－b>0则于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个

,使f(

)=

.湘潭大学数学与计算科学学院王文强87三、证明题例1设湘潭大学数学与计算科学学院王文强88例2设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(a)<g(a),f(b)>g(b),试证在(a,b)内至少存在一个

,使f(

)=g(

).证假设F(x)=f(x)

－g(x),则F(a)=f(a)－g(a)<0,F(b)=f(b)－g(b)>0于是由介值定理在(a,b)内至少存在一个

,使f(

)=g(

).湘潭大学数学与计算科学学院王文强88例2设f(x),湘潭大学数学与计算科学学院王文强89例3证明方程x5－3x－2=0在(1,2)内至少有一个实根.证令F(x)=x5－3x－2,则F(1)=－4<0,F(2)=24>0所以在(1,2)内至少有一个

,满足F(

)=0.湘潭大学数学与计算科学学院王文强89例3证明方程x5－湘潭大学数学与计算科学学院王文强90所以存在

(a<x1<

<xn<b)，使得证令所以例4

设f(x)在[a,b]上连续,且a<x1<x2<…<xn<b,ci

(i=1,2,3,…,n)为任意正数,则在(a,b)内至少存在一个

,使湘潭大学数学与计算科学学院王文强90所以存在(a<湘潭大学数学与计算科学学院王文强91解因为且所以得a=1.

极限化为

得b=

4.

因此，a=1，b=

4.

四、历年部分竞赛真题、考研真题选讲湘潭大学数学与计算科学学院王文强91解因为且所以得湘潭大学数学与计算科学学院王文强922、极限

分析本题属基本题型，