函数的奇偶性2

1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性第2课时奇偶性的应用1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝________.【答案】02．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是________函数且有________．【答案】增最小值－M3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是________．【答案】增函数自学导引奇函数的图象一定过原点吗？自主探究1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于(

)A．0 B．－1C．3 D．－3【答案】D预习测评2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(

)A．4 B．2C．1 D．0【答案】D4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是________．【答案】f(π)＞f(－3)＞f(－2)解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．1．由奇函数和偶函数的性质，可得单调性与奇偶性的联系：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．要点阐释题型一利用奇偶性求函数解析式【例1】

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.(1)求f(0)的值；(2)当x<0时，求f(x)的解析式；(3)求f(x)在R上的解析式．思路点拨：将x＜0的解析式转化到x＞0上的解析式，再利用f(x)的奇偶性，就可以得出f(x)的解析式．典例剖析解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.1．已知f(x)是偶函数且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x＋1，试求函数f(x)在x∈[－1,1]上的表达式．题型二函数奇偶性与单调性的综合应用【例2】

已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.思路点拨：本题的解题关键是利用奇函数的性质对不等式进行恒等变形．解：∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＋f(1－3x)<0⇔f(1－x)<－f(1－3x)⇔f(1－x)<f(3x－1)．又y＝f(x)在(－1,1)上是减函数，2．设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围．【例3】

已知函数f(x)(x∈R)是奇函数且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．误区解密利用奇偶性求函数解析式时因忽略定义域而出错错因分析：错解中忽略了定义域为R的条件，漏掉了x＝0的情况．纠错心得：定义域是函数的灵魂，尤其是解决奇、偶函数的问题首先要考虑定义域，若函数f(x)为奇函数且函数在原点有定义，则有f(0)＝0，此点是条件中的隐含结论，不可忽略．奇偶函数的主要性质1．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，故可直接根据函数图象的对称性来判断函数的奇偶性．画函数图象时首先判断奇偶性，作图比较方便．课堂总结2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)