垂直于弦的直径 省赛获奖

24.1.2垂直于弦的直径问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.问题情境你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

一、实践探究如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？?思考·OABCDE二、（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合．因此AE=BE

即直径CD平分弦ＡＢ，并且平分AB及ACB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒⌒OBCD·AE⌒⌒⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．归纳条件结论换言之：垂径定理：若一条直线满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，则它（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．也可以说：直径垂直于弦垂径定理三种语言1.定理垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所的两条弧提示:

垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）?思考·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒三、推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦

⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦

⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧辨别是非小试牛刀：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：连结OA，作OE⊥AB于点E，则OE＝3厘米，AE＝BE.∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。注意：圆心到弦的距离叫弦心距.AEBO解决求赵州桥拱半径的问题如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．过圆心O作弦AB

的垂线OC，垂足为D，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB

的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．AB=37.4米，CD=7.2米BODACR实践应用：⌒⌒⌒⌒⌒·OABCDE若直径平分弦（弦不是直径），则这条直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.归纳：或者说：若直径平分一条不是直径的弦，则这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言表述：AC=BCCD⊥AB,由CD是直径AE=BE可推得⌒⌒AD=BD⌒⌒ＤＣＡＢＥＯ定理及推论，总结：一条直线只需满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．中的任意两个条件，就能推出其它三个.简称“知二推三”.垂径定理及逆定理●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.（1）过圆心（2）垂直于弦，（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．如图，AB是⊙O的一条弦，CD是直径，且AE=BEOE=5，AB=24，求⊙O的半径·OABCDE练一练：驶向胜利的彼岸挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）

(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）.(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）

√驶向胜利的彼岸挑战自我画一画2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:

.图中相等的劣弧有:

.FEOMNABCD

1.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE

即AC＝BD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．3:在圆O中，直径CE⊥AB于

D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圆O的半径。

反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据

定理求出第三个量：CDBAO2：如图，圆O的弦AB＝8㎝，

DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。垂径4.已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒总结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.ED┌

600垂径定理的逆应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAO600ø650