高考数学二轮复习核心专题讲练：解析几何第2讲 椭圆解析版

第2讲椭圆目录第一部分：知识强化第二部分：重难点题型突破突破一：椭圆的定义突破二：利用椭圆定义求方程突破三：椭圆上点到焦点的距离及最值突破四：椭圆上点到焦点和定点距离和，差最值突破五：椭圆中焦点三角形问题突破六：椭圆中轨迹方程问题突破七：椭圆离心率问题突破八：直线与椭圆的位置关系突破九：椭圆中的中点弦问题突破十：椭圆的弦长问题突破十一：椭圆中定点，定值问题突破十二：椭圆中定直线问题突破十三：椭圆中向量问题第三部分：冲刺重难点特训第一部分：知识强化1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形2、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程（）（）范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点离心率，3、直线与椭圆的位置关系（1）直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．（2）直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）①弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：弦长弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；②结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，两式相减得：，即，故结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：③.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，．求：的面积（用、、表示）．设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·①由椭圆定义知：②，则得故第二部分：重难点题型突破突破一：椭圆的定义1．（2022·浙江·杭师大附中高二期中）椭圆上一点P与焦点的距离为5，则点P与另一个焦点的距离为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】根据椭圆的定义知，，因为，所以．故选：B.2．（2022·北京市海淀外国语实验学校高二阶段练习）设定点，，动点P满足条件，则动点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．双曲线【答案】C【详解】解：定点，，，常数，，所以动点满足条件或，则点的轨迹是线段或椭圆．故选：C．3．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知分别是椭圆的两个焦点，点在上，若的最大值为2，则（

）A． B．2 C．4 D．16【答案】B【详解】根据椭圆的定义得，则，当且仅当时，等号成立.故选:B4．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习）已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是7，则点到另一个焦点的距离为（

）A．5 B．3 C．2 D．7【答案】B【详解】解：由知长半轴长，，点到另一个焦点的距离为.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）设定点，，动点满足条件，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段或不存在【答案】D【详解】错解：选A，由题中坐标得：，又，点的轨迹为椭圆.错因：忽略了椭圆的定义中这一条件.正解：由题中坐标得：，又又，则当时，点的轨迹为线段；当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹不存在.故选：D.突破二：利用椭圆定义求方程1．（2022·四川成都·高二期中（理））己知两点，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，又是与的等差中项，所以，则点P到定点的距离之和为8，（大于），所以动点P的轨迹是以为焦点，，则，，所以椭圆方程为：，故选：.2．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，离心率为.过点的直线l与C交于A、B两点，且△周长为，那么C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，设椭圆方程为.∵△周长为，∴4a，得a.又，∴.则.∴椭圆C的方程为：.故选：B.3．（2022·江苏连云港·高二期中）已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，，即动点轨迹方程为.故选：D.4．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）方程化简后为______．【答案】【详解】解：∵，故令，，∴，∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，即，，，∴方程为.故答案为：.5．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（文））已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6，求点的轨迹的方程.【答案】【详解】解：因为为的重心，所以且边上的两条中线长度之和为6，所以，故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且，所以，所以,的轨迹的方程为.突破三：椭圆上点到焦点的距离及最值1．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率为为的一个焦点，为上一动点，则的最大值为（

）A．3 B．5 C． D．【答案】D【详解】解：设椭圆的半焦距为，故焦点在轴上．，离心率为，，解得．∴根据椭圆的性质可知．故选：D2．（2022·广东·深圳科学高中高二阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点作直线交椭圆C于A、B两点，若，则__________．【答案】【详解】解：如图，椭圆C的焦点为，，设，则，由椭圆的定义得，．在三角形中，由余弦定理得．在三角形中，由余弦定理得．因为，所以，解得，，所以．故答案为：．3．（2022·黑龙江省饶河县高级中学高二期中）已知椭圆的两个焦点，，点P在椭圆上，且，则__．【答案】【详解】由椭圆知，椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，由椭圆对称性不妨令焦点，因点P在椭圆C上，且，设，，则由，解得即有，所以的值为.故答案为：4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为______．【答案】1【详解】解：由椭圆C：知：，故，所以，所以，的最小值为.故答案为：5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的上焦点为F，且P是椭圆上的一点，求的最小值与最大值．【答案】的最小值为，最大值为.【详解】设，则有，，，因为，所以，因此，即的最小值为，最大值为.突破四：椭圆上点到焦点和定点距离和，差最值1．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二期中）、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在椭圆中，，，，则、，连接，所以，，当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，故的最小值为.故选：A.2．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据椭圆的定义可得，，则，因为，则当三点共线时，取值最大或最小.由已知得，，，，，.图1如图1，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大..图2如图2，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大..故答案为：.3．（2022·全国·高二单元测试）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以在椭圆的内部，设椭圆右焦点为，易得，则，由椭圆定义可知：，所以，因为，所以.故选：D.4．（2022·全国·高二单元测试）已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】如图所示：由，得，则，则圆的圆心是为椭圆的左焦点，则右焦点为，由椭圆的定义得，所以，又，所以，，故选：C5．（2022·黑龙江·哈九中高二阶段练习）设点，，点在椭圆上运动，当最大时，点的坐标为___________.【答案】【详解】由椭圆方程得：，，则，即椭圆焦点坐标为，，即与重合，由椭圆定义可知：，，即当位于下图所示的位置时，取得最大值；，直线，由得：（舍）或，即，当最大时，点的坐标为.故答案为：.6．（2022·广西·南宁三中高二期中）已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______.【答案】6【详解】如图所示：由，得，则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，，则圆的圆心为椭圆的左焦点，由椭圆的定义得，所以，又，所以，，故答案为：6.7．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________．【答案】1【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，由椭圆的定义得，因此，，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”，所以的最小值为1.故答案为：18．（2022·全国·高二单元测试）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________.【答案】【详解】解：点在椭圆上，椭圆左焦点，右焦点，如图：由圆，得，半径为1，由椭圆得定义可得：，则，则，当四点共线时，取得最小值，则.故答案为：0.突破五：椭圆中焦点三角形问题1．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）椭圆的两个焦点为，且是椭圆上的一点，则三角形的周长是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】故选：D2．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（左、右顶点除外），若的周长为8，则（

）A．1 B． C．8 D．【答案】C【详解】因为是椭圆上一点，所以的周长，由椭圆方程得，又，解得，所以，故选：C3．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【详解】根据对称性，可设点，,则的面积为，则当面积最大时，即最大，此时为上顶点时，即时最大.此时.又，则、.则，.故选：B4．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（文））已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则（

）A．3 B．9 C． D．12【答案】A【详解】设,依题意，整理得，即.故选：A5．（2022·四川成都·高二期中（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，设，∴，∵∴，∴离心率.故选：C．6．（2022·四川成都·高二期中（文））设、为不相等的正实数，椭圆的焦点分别为与．若此椭圆上存在点P使得为正三角形，则（

）A． B． C．28 D．36【答案】C【详解】要使为正三角形，则，由椭圆的对称性且焦点在y轴上，要使，则必在左右顶点上，所以，即，故，则.故选：C7．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）椭圆的焦点为，，与y轴的一个交点为A，若，则m（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【详解】在椭圆（）中，，，，如图，易知，又，所以为等腰直角三角形，即，得，即.故选：A8．（多选）（2022·山东临沂·高二期中）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（

）A．周长为14 B．面积最大值为12C．存在点P使得 D．不可能是等腰直角三角形【答案】BCD【详解】因为椭圆E：，所以，则，对于A，不妨设，则，又，所以周长为，故A错误；对于B，因为当点在轴上时，点到的距离最大，且最大值为，所以，即面积最大值为12，故B正确；对于C，假设存在点P使得，则，又，所以，则，所以是方程的两根，显然，方程有两解，所以存在点P使得，故C正确；对于D，当时，，显然，所以不是直角三角形；当时，，显然，所以不是直角三角形；同理：当时，也不是直角三角形；综上：不可能是等腰直角三角形，故D正确.故选：BCD.9．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长为___________.【答案】12【详解】在椭圆中，，由题意可知，的周长为.故答案为：.10．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（理））已知椭圆的两焦点为，，点P为椭圆上一点，且.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P满足，求的面积.【答案】(1)=1；(2)3.【详解】（1）依题意，，椭圆长轴长，即长半轴长，短半轴长b，有，所以椭圆的标准方程为=1.（2）由（1）知，，在中由余弦定理得：，有，解得，，所以的面积是.突破六：椭圆中轨迹方程问题1．（2022·上海市控江中学高一期末）定义点对应到点的对应法则：，按照该对应法则，当点在线段上运动时（其中，点，点），点的轨迹方程为______.【答案】，，【详解】线段所在的方程为，，设，则，，，，，，故，，在线段上，故，即，，.故答案为：，，2．（2022·辽宁·大连八中高二期中）在平面直角坐标系中，若动点始终满足关系式，则动点的轨迹方程为__________.【答案】.【详解】由平面上两点间的距离公式可知，到与的距离之和为8，又与两点间的距离为4，且，所以轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，所以.故点的轨迹方程为.故答案为：.3．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知为坐标原点，定点，是圆内一动点，圆与以线段为直径的圆内切，则动点的轨迹方程为________.【答案】【详解】取点，设线段的中点为，圆与圆的切点为，易知为线段的中点，则，所以，，故点的轨迹是以点、为焦点，长轴长为（去除长轴端点）的椭圆，且，则，，则，因此，点的轨迹方程为.故答案为：.4．（2022·全国·高二专题练习）若△ABC的三边长a､b､c满足，､，则顶点B的轨迹方程是___________.【答案】【详解】设点B的坐标为，∵，即，又､，∴，根据椭圆的定义可知，点B的轨迹是以､为焦点，以4为长轴长的椭圆，故顶点B的轨迹方程为，又B为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为.故答案为：.5．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学高二阶段练习（文））已知两点的坐标为，直线相交于点M，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程，并判断轨迹的形状.【答案】轨迹方程，轨迹的形状见解析【详解】设点的坐标为，则点的坐标为直线的斜率为点的坐标为直线的斜率为又化简得点的轨迹方程①当时，点的轨迹是圆心，半径为的圆除去点和②当且时，点的轨迹是椭圆除去点和6．（2022·陕西西安·高二期中（理））设动直线l垂直于x轴，且与椭圆交于A，B两点，P是l上满足的点，求点P的轨迹方程．【答案】【详解】将椭圆化为标准方程得，.设动直线l方程为.联立直线与椭圆方程可得，.设，，则，.设，则，由，可得代入整理可得，.所以，点P的轨迹是椭圆的一部分，方程为7．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆与圆：外切，同时与圆：内切，求动点的轨迹方程.【答案】【详解】因为圆：，所以圆的圆心为，半径为；圆：，所以圆的圆心为，半径为；设圆M的半径为r，由圆M与圆：外切，得，由圆M与圆：内切，得，又，故，则动点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，故，则，，故动点的轨迹方程为.突破七：椭圆离心率问题1．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知椭圆，直线与椭圆相切，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】联立直线与椭圆的方程可得，.所以，，解得.所以，则，，所以.故选：B.2．（2022·全国·高三阶段练习）已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，设，直线的斜率一定存在,分别为，直线恰好是以为直径的圆的切线,则,则,则，∴，∵，两式相减得，∴，即，∴，∴，∴，∴椭圆的离心率，故选:D．3．（2022·江苏·高三阶段练习）设椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点.若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令则，又中，，，中，，所以，离心率故选：A.4．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）香港科技大学“逸夫演艺中心”鸟瞰图如图1所示，最上面两层类似于离心率相同的两个椭圆，我们把离心率相同的两个椭圆叫做“相似椭圆”.如图2所示，在“相似椭圆”中，由外层椭圆的下顶点和右顶点分别向内层椭圆引切线，且两切线斜率之积等于，则该组“相似椭圆”的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设内层椭圆的方程为，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成，设切线的方程为，与联立，得，又，所以.设切线的方程为，与联立，得，又，所以.又，所以，因此.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意知，设，则，，，上任意一点都满足，，当时，取得最大值，①当，即时，，即，符合题意；此时，即，又，，②当，即时，化简得，，显然该不等式不成立，综上所述，离心率的取值范围，故选：C.6．（2022·山东·枣庄市第三中学高二期中）已知椭圆是椭圆上的点，是椭圆的左右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【答案】【详解】设，则，由于恒成立，即，，，由于，所以，所以，两边除以得，即，解得.所以椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：7．（2022·福建·高三阶段练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线所成的角为，则椭圆的离心率的取值范围是______.【答案】【详解】设过的两条直线与圆分别切于点，由两条切线所成的角为，知：，又在椭圆上，所以，即得，所以，所以椭圆的离心率，又，所以故答案为：.8．（2022·四川·宜宾市翠屏区天立学校高二阶段练习（理））已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则椭圆离心率的取值范围是_________.【答案】【详解】设椭圆的左焦点为，连接、，由题意可知，为、的中点，且，则四边形为矩形，则，又因为，所以，，因为，则，，，则，所以，，由椭圆的定义可得，所以，椭圆的离心率为.故答案为：.突破八：直线与椭圆的位置关系1．（2022·黑龙江·望奎县第一中学高二期末）若直线与：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（

）A．至多为 B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，圆心到直线的距离，即，则点在圆内，由椭圆几何性质知点也在椭圆内，∴与椭圆的交点个数为.故选：B2．（2022·福建·高二阶段练习）已知椭圆，点是椭圆第一象限上的点，直线是椭圆在点处的切线，直线分别交两坐标轴于点．则面积的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，，，直线方程为，由，得，∵直线与椭圆相切，所以，化简得，由椭圆方程知，，当且仅当，即时等号成立．所以取得最小值2.故选：A．3．（2022·四川·双流中学高二期中（理））若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（

）A．0或1 B．2 C．1 D．0或1或2【答案】B【详解】由，可知圆心，半径为，由题意，则，即，由，则点在椭圆内，于是过点的直线与椭圆必有两个交点.故选：B.4．（2022·全国·高二课时练习）定义曲线为椭圆的“倒椭圆”已知椭圆，它的倒椭圆为，过上任意一点P作直线PA垂直x轴于点A，作直线PB垂直y轴于点B，则直线AB与椭圆的公共点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．与点P的位置关系【答案】B【详解】的方程为，设，则，且，所以直线的方程为，即，由消去并化简得，，所以直线与椭圆有个公共点.故选：B5．（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是______．【答案】【详解】∵椭圆，∴y>0时，，∴，∴x＝1时，，即切线斜率，∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，即．故答案为：．6．（2022·全国·高三专题练习）已知直线经过椭圆的一个顶点E和一个焦点F．(1)求椭圆的标准方程；(2)求过与椭圆相切的直线方程．【答案】(1)(2)（1）依题意可知：椭圆焦点在x轴上，直线与坐标轴的交点为：，，∴，F（2，0），∴，c＝2，，∴椭圆的标准方程为．（2）由（1）可知椭圆，在椭圆上，求导，整理得：，由导数的几何意义可知：椭圆在切线方程的斜率，则直线的切线方程为：，整理得：，∴过与椭圆相切的直线方程为．破九：椭圆中的中点弦问题1．（2022·福建·上杭县第二中学高三阶段练习）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设点、，则的中点为，则，可得.若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；故直线的斜率存在，且，由于A、两点都在椭圆上，则，两式相减得，即，因为在直线AB上，故，故，即，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.故选：A.2．（2022·四川省安岳中学高二阶段练习）若椭圆的动弦斜率为1，则弦中点坐标可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设椭圆上的两点为，，弦的中点为，则，，，，由已知得，，，两式相减可得：，整理可得，，又点在椭圆的内部，所以.故选：D.3．（2022·江苏·滨海县东元高级中学高二阶段练习）将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线，若直线与曲线交于两点，且中点坐标为，那么直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，则设曲线上的点坐标为，故在上，故，即曲线方程为.设，则，，利用点差法有，，又中点坐标为，故，即，直线的斜率为.故直线的方程为，化简可得.故选：B4．（2022·重庆南开中学高二阶段练习）已知椭圆C：（）的长轴为4，直线与椭圆C相交于A、B两点，若线段的中点为，则椭圆C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，所以直线斜率，代入椭圆方程得，两式相减得，又，所以所求的椭圆方程为.故选:B.5．（2022·四川省冕宁中学校高二阶段练习）已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是__________.【答案】【详解】设，由题意得，两式相减化简得，而是中点，得，代入得，故直线方程为，即，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，故答案为：6．（2022·江苏省灌南高级中学高二期中）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程______.【答案】【详解】因为，所以点在椭圆内，设以点为中点的弦的两端的坐标分别为，则，，两式相减，得，则，设以点为中点的弦所在直线斜率为，则，所以所求直线方程为：，即.故答案为：.7．（2022·贵州·遵义一中高二阶段练习）经过点作直线交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则直线的方程为____________.【答案】【详解】设，，则，，两式相减可得，即，由中点，可得，，所以，即，故直线的方程为.因为P在椭圆内，故直线必与椭圆相交，符合题意故答案为：.8．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二阶段练习）已知椭圆．(1)求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)过点的直线与椭圆E只有一个公共点，求直线的方程；(3)过点的直线与椭圆E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线的方程．【答案】(1)；(2)或(3)【详解】（1）因为椭圆，所以，则，易知椭圆焦点落在轴上，所以椭圆的焦点坐标为，离心率为.（2）根据题意，得当直线斜率不存在时，则直线为，易知此时与椭圆只有一个公共点，满足题意；当直线斜率存在时，设直线为，联立，消去，得，因为直线与椭圆E只有一个公共点，所以，即，整理得，解得，所以直线为，即；综上：直线为或.（3）因为，所以在椭圆的内部，设，则，又，两式相减，得，则，即，所以直线为，即.9．（2022·全国·高三专题练习）已知动点P与平面上点M，N的距离之和等于．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若经过点E的直线l与曲线C交于A，B两点，且点E为AB的中点，求直线l的方程．【答案】(1)y2＝1；(2)．【详解】（1）根据题意，动点P与平面上点M，N的距离之和等于．又由|MN|＝2，则点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其中a，c＝1，则，故动点P的轨迹C方程为y2＝1；（2）设A，B，则有①②可得：，又由点E是AB的中点，则有则有，变形可得kAB，则直线AB的方程为，变形可得，经检验符合题意.故直线AB的方程为．突破十：椭圆的弦长问题1．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）已知椭圆：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－．(1)求椭圆的方程；(2)求弦长|AB|．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，由①－②得，∴

过点F的直线斜率为1∴，即又，∴，∴

∴椭圆方程为（2）消去得

解得从而

∴A（0，），B（－，－）∴.2．（2022·黑龙江·哈九中高二阶段练习）已知椭圆内一点引一条弦，与椭圆相交于A，B两点，使弦被M点平分，(1)求这条弦所在直线的方程.(2)求弦的长.【答案】(1)；(2).【详解】（1）因，即点在椭圆C内，符合条件的直线AB必存在，设，因是弦AB的中点，则，由相减得：，即有，因此直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即，所以这条弦所在直线的方程为.（2）由（1）得：，消去y并整理得：，于是得，所以弦的长.3．（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于A､B两点.(1)若M是线段AB的中点，求直线AB的方程；(2)若直线AB的斜率为2，求线段AB的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，在椭圆中，过的直线与椭圆相交于A､B两点，M是线段AB的中点∴设，，直线解得：∴∴，即（2）由题意及（1）得在椭圆中，过的直线与椭圆相交于A､B两点，直线AB的斜率为2，∴，即解得：或∴A､B两点坐标分别为，，∴4．（2022·江苏南通·高二期中）已知椭圆的离心率为e，且过点和．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线对称，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知：，∴，∴，所以椭圆；（2）法一

设及AB中点，由题意知，，以上两式相减得：，可化为：即，故，又∵M在直线上，所以，解得：，即，直线，化简为：联立整理得：，由韦达定理知由弦长公式得：．法二

设直线，联立，整理得：，则中点，满足直线方程，解得所以AB：联立整理得：，由韦达定理知由弦长公式得：．5．（2022·湖北·华中师大一附中高二期中）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为其左焦点，过的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)试求△面积的最大值以及此时直线的方程.【答案】(1)；(2)最大值为，此时直线l的方程.【详解】（1）根据题意可得：，，又，解得，，，故椭圆的标准方程为：.（2）①当直线l斜率为零时，显然不满足题意；②直线l的斜率不为零，设其方程为：，联立椭圆方程：可得：，设A，B的坐标分别为，，则，，，点O到直线AB的距离，，令，则，故对函数，，易知在单调递增，在单调递减，故，当且仅当，即时取得等号；故△面积的最大值为，此时直线l的方程.下证：在单调递增.在上任取，且，故，因为，故，，即，故在上单调递增.6．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于，两点，求△的面积最大时的方程．【答案】(1)；(2)或．【详解】（1）由题意可得，又，点在椭圆上，可得，解方程可得，，即有椭圆的方程为.（2）设过点的直线的方程为，代入椭圆方程，可得，判别式为，即有，设,，,，则，，，又到直线的距离，则△的面积为，令，，即有，故当且仅当，即，面积取得最大值，即有△的面积最大时的方程为，即或.突破十一：椭圆中定点，定值问题1．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知椭圆C的焦点在x轴上，，分别为左、右焦点，对称中心为坐标原点，四个顶点围成的四边形的面积为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程.(2)在椭圆上是否存在第一象限的点使得?若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，点坐标为.【详解】（1）因为椭圆C的焦点在x轴上，对称中心为坐标原点，所以设椭圆的标准方程为，因为四个顶点围成的四边形的面积为，离心率为，所以有，所以椭圆的标准方程为；（2）假设存在，坐标为，设，显然，由椭圆的定义可知：，由（1）可知：，由余弦定理可知：，，因为，所以为锐角，所以，，把代入中，得，或舍去，所以椭圆上存在第一象限的点使得，点的坐标为.2．（2022·广西广西·模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆的下顶点，且的面积为4.(1)求椭圆C的方程：(2)圆，点A，B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点，且直线PB的斜率是直线PA的斜率的2倍，求证：直线AB恒过定点【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意可得，又因为，所以，所以椭圆C的方程为.（2）证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，因为为，则直线的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，，得，因为点A，B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点，所以，，所以，代入直线的方程可得，所以为，联立直线与圆方程，，得，所以，代入直线的方程可得，所以为，所以，所以直线的方程为，整理可得，所以直线恒过定点.3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知A′，A分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2．(1)求C的方程；(2)过点F作直线l（与x轴不重合）交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．【答案】(1)1；(2)证明见解析【详解】（1）设，由x＝﹣c，可得y＝±b±，则P的坐标为（﹣c，）．由A（a，0），B（0，b），AB∥OP，可得kAB＝kOP，则，即b＝c，又|FA′|＝2，可得a﹣c＝2，又a2﹣c2＝b2，解得a＝2，b＝c，所以椭圆C的方程为1；（2）证明：由F(，0)，可设直线l的方程为x＝my，与椭圆方程x2+2y2＝4，可得(2+m2)y2﹣2my﹣2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2，y1y2．又A(2，0)，可得k1k2•，所以k1k2为定值．4．（2022·江西师大附中三模（文））已知椭圆的离心率为，点A､B分别是其右顶点和上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设斜率为的直线l与椭圆的两个交点（自上至下）分别为C､D，问：直线BC与AD的斜率之积是否为定值？若是，求出其大小；若不是，说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，定值为.(1)由题意知，，所以，而，所以①，直线AB的方程为，即，所以②，由①②解得：，所以椭圆的标准方程为：；(2)由（1）得椭圆的标准方程为，.直线BC的方程为，与椭圆的方程联立：'化简得解得，即同理，直线AD的方程为.联立化为，∴，解得﹐∴，∴，化为∴∴，为定值.5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知椭圆C：经过点，且椭圆C的离心率．(1)求椭圆C的方程；(2)经过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，椭圆C的右顶点为P，设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：恒为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.（1）由题意知：，解得，∴所求C的方程为：．（2）由题意，直线的斜率必存在，设：，即，代入椭圆整理得：，∴，又，而，，∴为定值，得证.突破十二：椭圆中定直线问题1．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））已知椭圆C；的左右顶点分别为，，以线段为边的一个正三角形与椭圆C的一个公共点为P（，）.(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于点M，N，直线M，交于点D，求证：点D在定直线l上，并求出直线l的方程.【答案】(1)；(2)证明见解析，.(1)由椭圆C经过点，故可得，由题意可知直线的斜率为，故可得，解得；把得代人得，所以椭圆C的方程为.(2)由（1）得，，设，由题可知直线l的斜率不为零，设其方程为，联立椭圆方程，可得则设，由，D，M三点共线，可得所以，由三点共线，同理可得所以所以，解得，所以点D在定直线上.2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆经过点，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，椭圆C的左、右顶点为，，不与坐标轴垂直且不过原点的直线l与C交于M，N两点（异于，），点M关于原点O的对称点为点P，直线与直线交于点Q，直线与直线l交于点R.证明：点R在定直线上.【答案】(1)；(2)证明见解析.(1)由题意知，，解得，故椭圆C的方程为.(2)设，，则.直线l的方程为，其中且，将代入椭圆，整理得，由与韦达定理得：，，.由（1）知：，，设，由、P、Q三点共线得：，由、N、Q三点共线得：，则，于是直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得：，即点R在定直线上.3．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））已知椭圆（a>b>0）的离心率为，短轴的下端点A的坐标为（0，－1）.(1)求椭圆E的方程；(2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且|AB|=|AC|，BC的中点为G，求证：点G在定直线上运动.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：由椭圆E短轴的下端点A的坐标为，得，即；由，得，代入上式，解得，从而，所以椭圆E的方程为.(2)解：若轴，不符合题意；若与轴不垂直，设直线BC的方程为，代入并整理，得一方面，必须；另一方面，设，，则，设的中点，则，且，①当时，轴，显然点G在y轴上.②当时，由AG⊥BC，得，则即，化简得，代入，得，解得.所以，，即，故点（）在定直线上运动.综上，当轴时，显然点G在y轴上运动；当BC与不平行不垂直时，点G在直线上运动.4．（2022·江西萍乡·一模（理））在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．（1）求证：；（2）若在射线上，且，求证：点在定直线上．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【详解】（1）设直线的方程为，，，联立得，由题意知恒成立，由韦达定理，所以，因为为线段的中点，所以，，此时．所以所在直线方程为，又由题设知，令，得，即．（2）由（1）知所在直线的方程为，将其代入椭圆的方程，并由，解得，又，由得，所以，所以点在定直线上．突破十三：椭圆中向量问题1．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（理））已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.(1)若点满足，求直线的方程；(2)若，的坐标满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；【答案】(1)(2)，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.【详解】（1）由已知可得，是线段中点，，，由已知，，两式相减化简整理得：，所以，直线的方程是；（2）设，，由，可得由②结合①②可得，又，是椭圆上的点，故，，所以，即，所以动点的轨迹方程为，根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.2．（2022·山西太原·三模（理））已知椭圆过点离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）根据题意，解得，椭圆C的方程为（2）设A（，），B（，），N（x，y），由，得，∴，又，∴，∴点N在直线上，∴.3．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））已知曲线C上动点到定点与定直线的距离之比为常数．(1)求曲线C的轨迹方程；(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．【答案】(1)(2)最小值为，(1)动点到定点与定直线的距离之比为常数∴；化简整理得：(2)点与点关于轴对称，设，，不妨设．由于点在椭圆上，所以．由已知，则，，∴由于，故当时，取得最小值为．此时，故圆T的方程为．4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知，直线过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A、B两点，l与双曲线的两条渐近线、分别交于M、N两点．(1)若，且当轴时，△MON的面积为，求双曲线的方程；(2)如图所示，若椭圆的离心率，且，求实数的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题设，且双曲线的渐近线为，当轴时，，又，△MON的面积为，所以，故，而，可得，所以双曲线的方程为.（2）对于椭圆有，而，则，不妨假设，则且l为，所以，又，，令，则，故，所以，而在椭圆上，则，整理得，综上，可得.5．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，右顶点为A，且.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)(2)过定点，定点为(1)由题意得，得，，∴，∴椭圆C的标准方程为.(2)设，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入，整理得，则，，.由题及（1）知，∴化简得，∴或，∵因为直线不过点A，∴舍去则直线l的方程为，即，直线l过定点.当直线l的斜率不存在时，设，代入，解得，由得，∴，解得或（舍去），此时直线l过点.综上，直线l过点.第三部分：冲刺重难点特训一、单选题1．（2022·江苏江苏·三模）关于椭圆：，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：右准线的方程为；如果只有一个假命题，则该命题是(

)A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【详解】依题意，甲：；乙：；丙：；丁：；∵，∴甲丙丁真命题，故乙为假命题﹒故选：B﹒2．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和；对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意；对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意；对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意；故答案为：D.3．（2022·湖南湘潭·三模）椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为的周长为，根据椭圆的定义可得，解得，则，所以，则椭圆的离心率为.故选：A.4．（2022·河南开封·一模（文））已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则（

）A．有最大值4 B．有最大值3 C．有最小值4 D．有最小值3【答案】A【详解】由椭圆可得，，，所以，，因为点在上，所以，设，，即，则所以，由对应函数单调性可知，当时，有最大值，最大值为即时，最大值为，当时，有最小值，最小值为即，时，最小值为，综上所述：最小值为，最大值为故选：A．5．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，由椭圆和双曲线的定义可得，得，设，因为，由余弦定理得，即，整理得，故.又，即，所以，即的最小值为，当且仅当即时等号成立.故选：A.6．（2022·广东·模拟预测）已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（

）个A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个【答案】B【详解】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；因为为短轴一端点，令，长度的最大值为，椭圆，所以说明椭圆与圆有且仅有下顶点这唯