( 线性代数)线性方程组的解的结构

线性方程组解的结构(一)齐次线性方程组解的结构(二)非齐次线性方程组解的结构(一)齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组的矩阵形式齐次线性方程组解的性质

(1)如果

1

2是齐次线性方程组Ax

0的两个解

则

1

2也是它的解

因为

1

2都是方程组Ax

0的解

所以

A

1

0

A

2

0

证

即

1

2是方程组Ax

0的解

A(

1

2)

A

1

A

2

0

齐次线性方程组解的性质

(1)如果

1

2是齐次线性方程组Ax

0的两个解

则

1

2也是它的解

(2)如果

是齐次线性方程组Ax

0的解

则c

也是它的解(c为常数)

即c

是方程组Ax

0的解

证

由A

0

得

A(c

)

c(A

)

0齐次线性方程组解的性质

(1)如果

1

2是齐次线性方程组Ax

0的两个解

则

1

2也是它的解

(2)如果

是齐次线性方程组Ax

0的解

则c

也是它的解(c为常数)

(3)如果

1

2

s都是齐次线性方程组Ax

0的解

则其线性组合

c1

1

c2

2

cs

s也是它的解

其中c1

c2

cs都是任意常数

定义3

10(基础解系)

如果

1

2

s是齐次线性方程组Ax

0的解向量组的一个极大无关组

则称

1

2

s是方程组Ax

0的一个基础解系

定理3

13(基础解系中解向量的个数)

如果齐次线性方程组Ax

0的系数矩阵A的秩r(A)

r

n

则方程组的基础解系存在

且每个基础解系中

恰含有n

r个解

如果一个齐次线性方程组有非零解

则它有基础解系

方程组的全部解就可以用基础解系的线性组合来表示

对增广矩阵(A¦0)施以初等行变换

得

解

即原方程组与下面的方程组同解

其中x3

x4为自由未知量

与原方程组同解的方程组为

解

(其中x3

x4为自由未知量)

1

2就是所给方程组的一个基础解系

对增广矩阵(A¦0)施以初等行变换

得

解

即原方程组与方程组同解

其中x3

x4

x5为自由未知量

与原方程组同解的方程组为

解

(其中x3

x4

x5为自由未知量)

让自由未知量(x3

x4

x5)T分别取值

(1

0

0)T

(0

1

0)T

(0

0

1)T

得方程组的一个基础解系

1

(

2

1

1

0

0)T

1

(2

1

0

0

1)T

2

(

1

3

0

1

0)T

因此

方程组的全部解为

c1(

2

1

1

0

0)T

c2(

1

3

0

1

0)T

c3(2

1

0

0

1)T其中c1

c2

c3为任意常数

因为r(A)

r

所以方程组Ax

0的任一基础解系所含向量个数为n

r个

例3

设矩阵A

(aij)m

n

B

(bij)n

s满足AB

O

并且r(A)

r

试证

r(B)

n

r

设矩阵B

(

1

2

s)

其中

j

(b1j

b2j

bnj)T(j

1

2

s)则AB

A(

1

2

s)

(A

1

A

2

A

s)

证

由AB

O可得

A

j

0(j

1

2

s)

考虑齐次线性方程组Ax

0

其中

x

(x1

x2

xn)T不难看出

矩阵B的列向量

1

2

s都是方程组Ax

0的解向量

r(B)

r(

1

2

s)

n

r由此可得(二)非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组及其导出组取b

0

得到的齐次线性方程组

Ax

0称为非齐次线性方程组Ax

b的导出组

非齐次线性方程组解的性质(1)如果

是非齐次线性方程组Ax

b的一个解

是其导出组Ax

0的一个解

则

也是方程组Ax

b的一个解

因为

是非齐次线性方程组Ax

b的一个解

所以有A

b

同理A

0

则由

证

可知

是非齐次线性方程组Ax

b的解

A(

)

A

A

b

0

b非齐次线性方程组解的性质(1)如果

是非齐次线性方程组Ax

b的一个解

是其导出组Ax

0的一个解

则

也是方程组Ax

b的一个解

(2)如果

1

2是非齐次线性方程组Ax

b的两个解

则

1

2是其导出组Ax

0的解

由A

1

b

A

2

b

得

证

即

1

2为导出组Ax

0的解

A(

1

2)

A

1

A

2

b

b

0

非齐次线性方程组解的性质(1)如果

是非齐次线性方程组Ax

b的一个解

是其导出组Ax

0的一个解

则

也是方程组Ax

b的一个解

(2)如果

1

2是非齐次线性方程组Ax

b的两个解

则

1

2是其导出组Ax

0的解

定理3

14(通解的结构)

设

是非齐次线性方程组Ax

b的一个解

是其导出组Ax

0的全部解

则x

是非齐次线性方程组Ax

b的全部解

求非齐次线性方程组全部解的方法求出它的一个解

并求出导出组的基础解系

1

2

n

r

把方程组的全部解表示为

x

c1

1

c2

2

cn

r

n

r

(c1

c2

cn

r为任意常数)

对增广矩阵(A¦b)施以初等行变换

得

解

即原方程组与方程组

同解

其中x3

x4为自由未知量

与原方程组同解的方程组为

解

(x3

x4为自由未知量)

让自由未知量(x3

x4)T取值(0

0)T

得方程组的一个解

(13/7

4/7

0

0)T与原方程组的导出组同解的方程组为

(x3

x4为自由未知量)

对自由未知量(x3

x4)T取值(1

0)T

(0

1)T

即得导出组的基础解系

1

(

3/7

2/7

1

0)T

2